(1,0 pt) Derivação implícita: Para a curva x^{3}+y^{2}=5, determine \frac{d y}{d x} e calcule a derivada no ponto (1,2). Encontre as equações da reta tangente e da reta normal nesse ponto.

Passo 1

O enunciado dá a curva descrita pela equação x^{3}+y^{2}=5 e pede três coisas:
  • Determinar \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x), tratando y como função de x.
  • Calcular o valor dessa derivada no ponto (1,2).
  • Encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva nesse ponto.
Informações relevantes dadas:
  • Equação implícita da curva: x^{3}+y^{2}=5.
  • Ponto para avaliar e escrever as retas: (x_{0},y_{0})=(1,2).

Passo 2

Ideia para obter \dfrac{dy}{dx}: como y está definida implicitamente por x^{3}+y^{2}=5, vamos diferenciar os dois lados da igualdade em relação a x. Quando diferenciamos uma expressão que contém y, devemos lembrar que y depende de x, então usamos a regra da cadeia.
Pequena explicação da regra da cadeia (de forma prática): se temos uma função composta g(y(x)), a derivada em relação a x é g'(y)\cdot y'(x). Aqui, y^{2} é g(y) com g(u)=u^{2}, então a derivada de y^{2} em relação a x é 2y\cdot \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora aplico a diferenciação termo a termo em x^{3}+y^{2}=5:
  • Derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}.
  • Derivada de y^{2} em relação a x é 2y\cdot \dfrac{dy}{dx} (pela regra da cadeia, como expliquei).
  • Derivada da constante 5 é 0.
Portanto, diferenciando ambos os lados:
3x^{2}+2y\cdot \frac{dy}{dx}=0.

Passo 4

Isolo \dfrac{dy}{dx} na equação obtida. Subtraio 3x^{2} dos dois lados e divido por 2y:
2y\cdot \frac{dy}{dx}=-3x^{2}
\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^{2}}{2y}.
Pronto — essa é a fórmula geral da derivada y'(x) obtida por diferenciação implícita. Aqui \dfrac{dy}{dx} representa a inclinação da curva em qualquer ponto (x,y) que satisfaça a equação original.

Passo 5

Agora calculo a derivada no ponto (1,2). Substituo x=1 e y=2 na fórmula:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,2)}=-\frac{3\cdot 1^{2}}{2\cdot 2}=-\frac{3}{4}.
Então a inclinação da reta tangente nesse ponto é -\dfrac{3}{4}. Respira — tá indo bem!

Passo 6

Equação da reta tangente: a reta tangente em (x_{0},y_{0}) com inclinação m é dada pela forma ponto-inclinação
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Aqui m=-\dfrac{3}{4} e (x_{0},y_{0})=(1,2), então
y-2=-\frac{3}{4}(x-1).
Queremos também uma forma explícita ( y=\dots ) para facilitar a leitura; desenvolvendo:
y-2=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}
y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}+2
y=-\frac{3}{4}x+\frac{11}{4}.

Passo 7

Equação da reta normal: a reta normal é a reta perpendicular à tangente naquele ponto. Se a inclinação da tangente é m_t, a inclinação da normal m_n satisfaz m_t\cdot m_n=-1. Assim
m_n=-\frac{1}{m_t}=-\frac{1}{-\tfrac{3}{4}}=\frac{4}{3}.
Usando a forma ponto-inclinação para a normal em (1,2):
y-2=\frac{4}{3}(x-1).
Colocando em forma explícita:
y-2=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}
y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}+2
y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{3x^{2}}{2y}
\displaystyle \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,2)}=-\frac{3}{4}
Reta tangente: \displaystyle y-2=-\frac{3}{4}(x-1) ou \displaystyle y=-\frac{3}{4}x+\frac{11}{4}
Reta normal: \displaystyle y-2=\frac{4}{3}(x-1) ou \displaystyle y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}

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