(3,0 pt) Calcule as derivadas:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função está definida para
, pois aparece . - A derivada que vamos encontrar estará definida em
(a derivada em não é finita porque a derivada de diverge em ). - Objetivo: obter
de forma algébrica simplificada.
Passo 2
Reescrever a função em potências deixa as regras de derivação mais diretas. Note que
logo
Isto transforma a função em produto de duas funções elementares, prontas para aplicar a regra do produto.
Passo 3
Lembrar as regras que vamos usar (com explicação curta e exemplo):
- Regra da potência: para
com real e , vale
Ex.: se
então
.
- Regra da cadeia (caso composto): para
,
Ex.: se
então
.
- Regra do produto: para
,
Passo 4
Identificar
e
e calcular suas derivadas:
Passo 5
Aplicar a regra do produto:
Substituindo:
Ou seja,
Passo 6
Vamos colocar em um único quociente para simplificar. O denominador comum conveniente é
. Colocando ambos termos sobre esse denominador:
Subtraindo:
Passo 7
Interpretação e domínio final:
- A expressão final é válida para
. - Observação: em
a função é mas não existe (tende a ou não é finita).