(3,0 pt) Calcule as derivadas:
(d) p(x)=\frac{\sqrt{x}}{1+x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
p(x)=\frac{\sqrt{x}}{1+x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função está definida para \,x\ge 0, pois aparece \sqrt{x}.
  • A derivada que vamos encontrar estará definida em \,x>0 (a derivada em x=0 não é finita porque a derivada de \sqrt{x} diverge em 0).
  • Objetivo: obter p'(x) de forma algébrica simplificada.

Passo 2

Reescrever a função em potências deixa as regras de derivação mais diretas. Note que
\sqrt{x}=x^{1/2}\quad\text{e}\quad \frac{1}{1+x}=(1+x)^{-1},
logo
p(x)=x^{1/2}(1+x)^{-1}.
Isto transforma a função em produto de duas funções elementares, prontas para aplicar a regra do produto.

Passo 3

Lembrar as regras que vamos usar (com explicação curta e exemplo):
  • Regra da potência: para \,u(x)=x^{n} com n real e x>0, vale
u'(x)=n x^{n-1}.
Ex.: se u(x)=x^{1/2} então u'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.
  • Regra da cadeia (caso composto): para v(x)=(g(x))^{n},
v'(x)=n\,(g(x))^{n-1}\,g'(x).
Ex.: se v(x)=(1+x)^{-1} então v'(x)=-1\cdot(1+x)^{-2}\cdot(1) = -(1+x)^{-2}.
  • Regra do produto: para p(x)=u(x)\,v(x),
p'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 4

Identificar u e v e calcular suas derivadas:
u(x)=x^{1/2}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
v(x)=(1+x)^{-1}\quad\Rightarrow\quad v'(x)=- (1+x)^{-2} = -\frac{1}{(1+x)^2}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto:
p'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
p'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{1+x} \;+\; x^{1/2}\cdot\left(-\frac{1}{(1+x)^2}\right).
Ou seja,
p'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}-\frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2}.

Passo 6

Vamos colocar em um único quociente para simplificar. O denominador comum conveniente é 2\sqrt{x}(1+x)^2. Colocando ambos termos sobre esse denominador:
\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}=\frac{1+x}{2\sqrt{x}(1+x)^2}, \qquad \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2}=\frac{2x}{2\sqrt{x}(1+x)^2}.
Subtraindo:
p'(x)=\frac{1+x}{2\sqrt{x}(1+x)^2}-\frac{2x}{2\sqrt{x}(1+x)^2} =\frac{1+x-2x}{2\sqrt{x}(1+x)^2} =\frac{1-x}{2\sqrt{x}(1+x)^2}.

Passo 7

Interpretação e domínio final:
  • A expressão final é válida para \,x>0.
  • Observação: em x=0 a função p é p(0)=0 mas p'(0) não existe (tende a +\infty ou não é finita).

Resposta

p'(x)=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(1+x)^2}\quad\text{para }x>0

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