\text{(i) O lado direito (forçamento) é a soma de }6x^{2}+2\quad\text{(polinômio de grau }2\text{)}\text{ e }-12e^{3x}\quad\text{(exponencial).}
\text{(ii) O operador linear é }L[y]=y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y.
Essas duas peças (polinômio e exponencial) permitem usar o princípio da superposição: procuraremos uma solução particular como soma de uma parte para o polinômio e outra para a exponencial.
Passo 2
Antes de escolher os chutes (ansätze) para as partes particulares, é importante saber a solução da homogênea porque ela pode forçar modificações no chute (caso de ressonância). Vamos achar a solução homogênea associada resolvendo a equação característica:
r^{2}-6r+9=0.
Essa equação fatoriza como
(r-3)^{2}=0,
logo há raiz \,r=3\, de multiplicidade \,2. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{3x},
onde C_{1},C_{2} são constantes. Observação importante (regra prática): quando o termo não-homogêneo tem fator e^{\alpha x} e \alpha é raiz da característica de multiplicidade s, o ansatz para essa parte deve ser multiplicado por x^{s}. Aqui \alpha=3 tem multiplicidade s=2, logo termos com e^{3x} exigirão multiplicação por x^{2}.
Passo 3
Parte polinomial: para gerar o termo 6x^{2}+2 nós tentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau. Assim escolhemos o ansatz
y_{p1}(x)=ax^{2}+bx+c,
com constantes a,b,c a determinar. Vou calcular y_{p1}^{\prime} e y_{p1}^{\prime\prime}:
(Observe que isso gera exatamente o termo 6x^{2}+2 quando aplicado L.)
Passo 6
Parte exponencial -12e^{3x}: como explicado no Passo 2, a presença de e^{3x} cria ressonância porque r=3 é raiz duplamente degenerada da característica. Para o termo -12e^{3x} usamos o ansatz
y_{p2}(x)=A x^{2}e^{3x},
com uma constante A a determinar (multiplicamos por x^{2} por causa da multiplicidade s=2).
Passo 7
Calculemos y_{p2}^{\prime} e y_{p2}^{\prime\prime}. Começando por
Esse resultado deve igualar ao termo -12e^{3x} do lado direito, portanto
2A e^{3x}=-12e^{3x}\implies 2A=-12\implies A=-6.
Passo 8
Portanto a parte exponencial particular é
y_{p2}(x)=-6x^{2}e^{3x}.
A solução particular completa pode ser obtida somando as duas partes particulares: a parte polinomial y_{p1} e a parte exponencial y_{p2}. (A resposta final, com a expressão explícita, está na seção seguinte.)