(2 ptos.) (5) Determine a FORMA de uma solução particular para a ED dada:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=6 x^{2}+2-12 e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a FORMA de uma solução particular para a equação diferencial
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y=6x^{2}+2-12e^{3x}.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
\text{(i) O lado direito (forçamento) é a soma de }6x^{2}+2\quad\text{(polinômio de grau }2\text{)}\text{ e }-12e^{3x}\quad\text{(exponencial).}çéô
\text{(ii) O operador linear é }L[y]=y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y.é
Essas duas peças (polinômio e exponencial) permitem usar o princípio da superposição: procuraremos uma solução particular como soma de uma parte para o polinômio e outra para a exponencial.

Passo 2

Antes de escolher os chutes (ansätze) para as partes particulares, é importante saber a solução da homogênea porque ela pode forçar modificações no chute (caso de ressonância). Vamos achar a solução homogênea associada resolvendo a equação característica:
r^{2}-6r+9=0.
Essa equação fatoriza como
(r-3)^{2}=0,
logo há raiz \,r=3\, de multiplicidade \,2. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{3x},
onde C_{1},C_{2} são constantes. Observação importante (regra prática): quando o termo não-homogêneo tem fator e^{\alpha x} e \alpha é raiz da característica de multiplicidade s, o ansatz para essa parte deve ser multiplicado por x^{s}. Aqui \alpha=3 tem multiplicidade s=2, logo termos com e^{3x} exigirão multiplicação por x^{2}.

Passo 3

Parte polinomial: para gerar o termo 6x^{2}+2 nós tentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau. Assim escolhemos o ansatz
y_{p1}(x)=ax^{2}+bx+c,
com constantes a,b,c a determinar. Vou calcular y_{p1}^{\prime} e y_{p1}^{\prime\prime}:
y_{p1}^{\prime}(x)=2ax+b,
y_{p1}^{\prime\prime}(x)=2a.
Agora aplico o operador L:
L[y_{p1}]=y_{p1}^{\prime\prime}-6y_{p1}^{\prime}+9y_{p1}.
Substituindo:
L[y_{p1}]=2a-6(2ax+b)+9(ax^{2}+bx+c).
Vamos organizar os termos por potências de x.

Passo 4

Continuando a expansão de L[y_{p1}]\): \[L[y_{p1}]=9a x^{2}+(-12a+9b)x+(2a-6b+9c).
Esse resultado deve ser igual ao termo polinomial do lado direito, ou seja
9a x^{2}+(-12a+9b)x+(2a-6b+9c)=6x^{2}+0\cdot x+2.
Comparando coeficientes para cada potência de x obtemos o sistema:
\begin{cases} 9a=6,\\[4pt] -12a+9b=0,\\[4pt] 2a-6b+9c=2. \end{cases}
Resolve-se passo a passo:
a=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.
Com esse a\], \[9b=12a \implies b=\dfrac{12}{9}a=\dfrac{4}{3}a=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{9}.\] E para \(c:
2a-6b+9c=2 \implies 9c=2-2a+6b.
Calcule 2a-6b: 2a= \dfrac{4}{3}, -6b=-6\cdot\dfrac{8}{9}=-\dfrac{48}{9}=-\dfrac{16}{3}. Assim 2a-6b=\dfrac{4}{3}-\dfrac{16}{3}=-\dfrac{12}{3}=-4. Logo
-4+9c=2 \implies 9c=6 \implies c=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.]

Passo 5

Conclusão da parte polinomial: encontramos
y_{p1}(x)=\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{8}{9}x+\dfrac{2}{3}.
(Observe que isso gera exatamente o termo 6x^{2}+2 quando aplicado L.)

Passo 6

Parte exponencial -12e^{3x}: como explicado no Passo 2, a presença de e^{3x} cria ressonância porque r=3 é raiz duplamente degenerada da característica. Para o termo -12e^{3x} usamos o ansatz
y_{p2}(x)=A x^{2}e^{3x},
com uma constante A a determinar (multiplicamos por x^{2} por causa da multiplicidade s=2).

Passo 7

Calculemos y_{p2}^{\prime} e y_{p2}^{\prime\prime}. Começando por
y_{p2}(x)=A x^{2}e^{3x}.
Derivando:
y_{p2}^{\prime}(x)=A\big(2x e^{3x}+x^{2}\cdot 3e^{3x}\big)=A e^{3x}(3x^{2}+2x).
Derivando novamente:
y_{p2}^{\prime\prime}(x)=A e^{3x}\big(6x+2\big)+3A e^{3x}\big(3x^{2}+2x\big)=A e^{3x}\big(9x^{2}+12x+2\big).
Agora aplico L:
L[y_{p2}]=y_{p2}^{\prime\prime}-6y_{p2}^{\prime}+9y_{p2}.
Substituindo as expressões:
L[y_{p2}]=A e^{3x}\big(9x^{2}+12x+2\big)-6A e^{3x}\big(3x^{2}+2x\big)+9A x^{2}e^{3x}.
Agrupando termos (fatorando A e^{3x}) nota-se uma simplificação:
L[y_{p2}]=A e^{3x}\big(9x^{2}-18x^{2}+9x^{2}+12x-12x+2\big)=A e^{3x}\cdot 2=2A e^{3x}.
Esse resultado deve igualar ao termo -12e^{3x} do lado direito, portanto
2A e^{3x}=-12e^{3x}\implies 2A=-12\implies A=-6.

Passo 8

Portanto a parte exponencial particular é
y_{p2}(x)=-6x^{2}e^{3x}.
A solução particular completa pode ser obtida somando as duas partes particulares: a parte polinomial y_{p1} e a parte exponencial y_{p2}. (A resposta final, com a expressão explícita, está na seção seguinte.)

Resposta

y_{p}(x)=\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{8}{9}x+\dfrac{2}{3}-6x^{2}e^{3x}.

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