2 (2,0 pts.) Considere os pontos A=(1,2,1), B=(-1,0,-3) e C=(2,1,0).
(a) Verifique que os pontos A, B e C são vértices de um triângulo;
(b) Calcule a área do triângulo triang<= A B C ;

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(1,2,1), B=(-1,0,-3) e C=(2,1,0). Precisamos:
– (a) verificar se eles formam um triângulo (ou seja, não são colineares);
– (b) calcular a área do triang<= ABC.
Vamos usar geometria vetorial em R^3: subtração de vetores, teste de colinearidade e fórmula da área via produto vetorial.

Passo 2

Calculamos os vetores AB e AC por subtração de coordenadas:
AB = B - A = (-1-1,;0-2,;-3-1) = (-2,-2,-4),
AC = C - A = (2-1,;1-2,;0-1) = (1,-1,-1)

Passo 3

Para testar colinearidade, verificamos se AB é múltiplo de AC. Comparando componentes:
-21 = -2, -2-1 = 2, -4-1 = 4
Como esses quocientes não coincidem, AB não é múltiplo de AC. Logo, os três pontos não são colineares e formam um triângulo.

Passo 4

Para a área usamos
Área = tfrac12 llVert AB times ACrrVert Á
Calculando o produto vetorial:
AB times AC = i & j & k -2 & -2 & -4 1 & -1 & -1 = (-2,-6,4)

Passo 5

Agora, a norma de (-2,-6,4) é
llVert(-2,-6,4)rrVert = raiz(-2)^2+(-6)^2+4^2 = raiz4+36+16 = raiz56 =2raiz14
Portanto,
Área = tfrac12cdot2raiz14 = raiz14 Á

Resposta

(a) Os pontos não são colineares, logo formam um triângulo.
(b) raiz14.

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