1 (2,0 pts.) Dados os vetores u=2 i+j-k, v=i+2 k e w=2 j-3 k, verifique que eles determinam um paralelepípedo e calcule o seu volume.

Passo 1

O enunciado fornece três vetores no espaço
u=2i+j-k, v=i+2k e w=2j-3k.
Queremos verificar que eles são linearmente independentes (logo determinam um paralelepípedo) e calcular o volume desse paralelepípedo usando o produto misto.

Passo 2

O produto misto de u,v,w é dado por
ucdot(vtimesw) =det 2 & 1 & -1 1 & 0 & 2 0 & 2 & -3

Passo 3

Calculamos a expansão pelo primeiro linha:
det 2 & 1 & -1 1 & 0 & 2 0 & 2 & -3 =2l(0cdot(-3)-2cdot2r) -1l(1cdot(-3)-2cdot0r) +(-1)l(1cdot2-0cdot0r)
Isso dá
2cdot(-4);-;1cdot(-3);-;1cdot2 =-8+3-2=-7

Passo 4

Como o produto misto é -7neq0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, determinam um paralelepípedo. O volume V é o valor absoluto do produto misto:
V = l|ucdot(vtimesw)r| = |-7| = 7

Resposta

O volume do paralelepípedo determinado por u,v,w é 7.

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