1. (2 ptos) Uma fonte linear de 50,0 \mathrm{~cm} de comprimento produz ondas sonoras de frequencia 1000 Hz que viajam a 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no ar, cuja massa específica vale 1,21 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Uma pessoa mede 69,0 \mu \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} para intensidade do som a uma distância de 5,60 \mathrm{~m}. Presuma que não há reflexões e que a fonte emite o mesmo som radialmente. A uma distância de 25,4 \mathrm{~m} determine: (a) a intensidade do som, (b) o nível de intensidade sonora, (e) a amplitude de deslocamento da onda sonora, e (d) a amplitude de pressão da onda sonora.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes números do enunciado):
  • Comprimento da fonte linear: L=50{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}500\\ \mathrm{m}.
  • Frequência do som: f=1000\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do som no ar: c=343\\ \mathrm{m/s}.
  • Densidade do ar: \rho=1{,}21\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Intensidade medida a r_1=5{,}60\\ \mathrm{m}: I_1=69{,}0\\ \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^2 = 69{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Distância onde se pede as grandezas: r_2=25{,}4\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede, para a distância r_2:
(a) a intensidade do som I(r_2);
(b) o nível de intensidade sonora L (em dB);
(c) a amplitude de deslocamento da onda sonora s_{\max};
(d) a amplitude de pressão da onda sonora p_{\max}.

Passo 2

Qual modelo de propagação usar? O enunciado fala explicitamente em “fonte linear” e que a fonte “emite o mesmo som radialmente”. Isso contrasta com uma fonte pontual (que irradiaria esfericamente, com decaimento 1/r^2 da potência por área) e indica um modelo de fonte linear (aproximadamente um cilindro): para uma fonte longa e uniforme a intensidade média na superfície de um cilindro de raio r varia como 1/r. Resumo dos dois casos (para entender a escolha):
  • Fonte pontual (esférica): I\propto 1/r^2.
  • Fonte linear (cilíndrica, emissão radial uniforme por unidade de comprimento): I\propto 1/r.
Aqui usaremos o modelo cilíndrico (linear) porque o enunciado descreve a fonte como linear e diz que emite radialmente o mesmo som.

Passo 3

Derivar a relação de intensidade para fonte linear e calcular I(r_2).
  • Conceito: para uma fonte linear com potência por unidade de comprimento w (em W/m), a potência total que atravessa uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L é P=wL. A área dessa superfície é A=2\pi r L. A intensidade média é potência por área:
I(r)=\frac{P}{A}=\frac{wL}{2\pi r L}=\frac{w}{2\pi r}.
Logo, para duas distâncias r_1 e r_2 do mesmo eixo, e mesma fonte,
\frac{I(r_2)}{I(r_1)}=\frac{r_1}{r_2}\quad\Rightarrow\quad I(r_2)=I(r_1)\frac{r_1}{r_2}.
  • Aplicando os números (todos em SI): I_1=69{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, r_1=5{,}60\\ \mathrm{m}, r_2=25{,}4\\ \mathrm{m}.
I(r_2)=69{,}0\times10^{-6}\cdot\frac{5{,}60}{25{,}4}.
Calculemos passo a passo:
\frac{5{,}60}{25{,}4}=0{,}220472\ldots
I(r_2)=69{,}0\times10^{-6}\times0{,}220472\ldots = 1{,}5206\times10^{-5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
I(r_2)\approx 1{,}52\times10^{-5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular o nível de intensidade sonora L em decibéis.
  • Conceito: o nível de intensidade sonora (em dB) é dado por
L = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right),
onde I_0=1{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 é a referência auditiva usual.
  • Aplicando I=I(r_2)=1{,}5206\times10^{-5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2:
\frac{I}{I_0}=\frac{1{,}5206\times10^{-5}}{1{,}00\times10^{-12}}=1{,}5206\times10^{7}.
L=10\log_{10}\!\left(1{,}5206\times10^{7}\right)=10\big(\log_{10}(1{,}5206)+7\big).
\log_{10}(1{,}5206)\approx0{,}18267\quad\Rightarrow\quad L\approx10(7{,}18267)=71{,}8267\\ \mathrm{dB}.
Arredondando:
L\approx 71{,}8\\ \mathrm{dB}.

Passo 5

Relação entre intensidade e amplitude de pressão; cálculo de p_{\max}.
  • Conceito físico e fórmula: para uma onda sonora progressiva senoidal (aproximação de onda plana localmente), a intensidade média está relacionada à amplitude de pressão p_{\max} por
I=\frac{p_{\mathrm{rms}}^{2}}{\rho c}=\frac{p_{\max}^{2}}{2\rho c},
onde p_{\mathrm{rms}}=p_{\max}/\sqrt{2}. Aqui:
  • I é a intensidade média (W/m^2),
  • \rho é a densidade do meio (kg/m^3),
  • c é a velocidade do som (m/s),
  • p_{\max} é a amplitude (valor de pico) da pressão (Pa).
  • Invertendo para p_{\max}:
p_{\max}=\sqrt{2\rho c I}.
  • Substituindo \rho=1{,}21\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, c=343\\ \mathrm{m/s}, I=1{,}5206\times10^{-5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2:
p_{\max}=\sqrt{2\cdot1{,}21\cdot343\cdot1{,}5206\times10^{-5}}.
Calculemos:
2\rho c=2\cdot1{,}21\cdot343=830{,}06\\ (\text{unidade: kg/(m}^2\text{s)}).
2\rho c I=830{,}06\times1{,}5206\times10^{-5}=0{,}012625\ldots
p_{\max}=\sqrt{0{,}012625\ldots}\approx0{,}1124\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando:
p_{\max}\approx0{,}112\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Relação entre amplitude de pressão, velocidade de partícula e amplitude de deslocamento; cálculo de s_{\max}.
  • Conceitos e relações:
    • Para uma onda sonora plana senoidal, a amplitude da velocidade de partícula (valor de pico) v_{\max} está relacionada com p_{\max} por
    v_{\max}=\frac{p_{\max}}{\rho c}.
    • A velocidade máxima também está ligada à amplitude de deslocamento s_{\max} pela relação v_{\max}=\omega s_{\max}, onde \omega=2\pi f é a frequência angular.
    • Combinando:
    s_{\max}=\frac{v_{\max}}{\omega}=\frac{p_{\max}}{\rho c\\ \omega}.
    • Usando a expressão de p_{\max} obtida a partir de I, pode-se usar a forma equivalente
    s_{\max}=\frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{2I}{\rho c}}.
  • Cálculo numérico (usando I=1{,}5206\times10^{-5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, \rho c=415{,}03 já calculado antes, f=1000\\ \mathrm{Hz}, \omega=2\pi f\approx6283{,}185\\ \mathrm{rad/s}):
\frac{2I}{\rho c}=\frac{2\cdot1{,}5206\times10^{-5}}{415{,}03}\approx7{,}330\times10^{-8}.
\sqrt{\frac{2I}{\rho c}}\approx\sqrt{7{,}330\times10^{-8}}\approx2{,}708\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}=v_{\max}.
s_{\max}=\frac{v_{\max}}{\omega}=\frac{2{,}708\times10^{-4}}{2\pi\cdot1000}\approx4{,}31\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
s_{\max}\approx 4{,}31\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Resumo físico rápido e verificação de ordem de grandeza: níveis da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 correspondem a níveis sonoros na casa de 10^{1}\\ \mathrm{dB} (aqui \sim72\\ \mathrm{dB}); amplitudes de pressão na faixa de 10^{-1}\\ \mathrm{Pa} e deslocamentos de partículas muito pequenos (nanômetros) são consistentes com som audível a 1 kHz nessa intensidade. Tudo coerente.

Resposta

(a) I(25{,}4\\ \mathrm{m})\approx 1{,}52\times10^{-5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2
(b) L\approx 71{,}8\\ \mathrm{dB}
(c) s_{\max}\approx 4{,}31\times10^{-8}\\ \mathrm{m}
(d) p_{\max}\approx 0{,}112\\ \mathrm{Pa}

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