Determinar as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\pi} 2 e d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} 2 e \, dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 0 e \pi.
  • A função integranda é 2 e, que não depende de x.
  • A variável de integração é x.
  • e é a constante de Euler (aproximadamente 2{,}71828).

Passo 2

Conceito importante que vamos usar: a integral de uma constante em relação a x. A regra é
\int a \, dx = a x + C,
onde a é uma constante (não depende de x), x é a variável de integração, e C é a constante de integração. Para uma integral definida, avaliamos a primitiva nos limites e subtraímos:
\int_{A}^{B} a \, dx = a\bigl(B - A\bigr).
Explicando com calma: como a não muda quando x varia, podemos “fatorar” a para fora da integral e integrar 1 em relação a x, o que dá simplesmente x. Exemplo rápido: \int_{0}^{2} 3\,dx = 3(2-0)=6.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: aqui a = 2e (constante) e os limites são 0 e \pi. Então
\int_{0}^{\pi} 2 e \, dx = 2 e \cdot \bigl[\;x\;\bigr]_{0}^{\pi} = 2 e \cdot (\pi - 0).

Passo 4

Simplificando o resultado obtemos a resposta exata
2 e \pi.
Como checagem numérica, usando e\approx 2{,}71828 e \pi\approx 3{,}14159,
2 e \pi \approx 2\cdot 2{,}71828\cdot 3{,}14159 \approx 17{,}0795.
Isso é só para conferir; a forma exata é preferível.

Resposta

2 e \pi

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