(2 ptos) Um tanque de água possui capacidade inicial de 100 litros. Ele está conectado a um sumidouro e a uma torneira, de modo que, às vezes ganha água e outras vezes perde. A taxa líquida de variação do volume de água é dada por
em litros por minuto para
.
(a) Qual será a quantidade de água no tanque no instante
?
(b) Qual será a variação de água no tanque entre os instantes
?
(c) Calcule, no intervalo de tempo entre
e
, a quantidade total de água perdida e a quantidade total de água ganha pelo tanque.
(a) Qual será a quantidade de água no tanque no instante
(b) Qual será a variação de água no tanque entre os instantes
(c) Calcule, no intervalo de tempo entre
Passo 1
O enunciado dá a taxa líquida de variação do volume de água no tanque
e informa que o volume inicial no instante
é
litros. Ele pede três coisas:
(a) a quantidade de água no tanque em ;
(b) a variação de água entre e
;
(c) no intervalo , a quantidade total de água perdida e a quantidade total de água ganha pelo tanque.
(a) a quantidade de água no tanque em
(b) a variação de água entre
(c) no intervalo
Informações relevantes listadas:
- Taxa de variação instantânea do volume:
. - Volume inicial:
litros. - Para achar variação/quantidade ganha ou perdida devemos integrar a taxa
nos intervalos pedidos.
Passo 2
Primeiro lembrete importante (aula rápida): se
é a taxa de variação do volume, isso quer dizer que
onde
é o volume em litros no instante
. Para obter variações de volume usamos integrais definidas: a variação de
entre
e
é
Além disso, para calcular integrais de polinômios podemos usar antiderivada (primitiva). Se
, uma primitiva
é obtida integrando termo a termo:
Somando, escolhemos a primitiva
Essa função satisfez
. Então integrais definidas serão avaliadas por
. Vou usar isso em todas as partes.
Passo 3
(a) Calcular o volume em
.
O volume
é o volume inicial mais a variação entre
e
:
Usando a primitiva
,
Calculo
e
:
Logo
Portanto
Passo 4
(b) Variação entre
e
.
A variação é
Já sabemos
. Agora calculamos
:
Compute passo a passo:
Somando:
Colocando em denomindor
:
Assim
O sinal negativo indica que houve perda líquida de água nesse intervalo.
Passo 5
(c) No intervalo
: calcular quantidade total perdida e total ganha.
Primeiro, para separar perda e ganho precisamos saber onde
é positiva ou negativa. Fatorando
:
As raízes são
. No intervalo
temos pontos críticos em
e
. Analisando signos:
- Para
: positivo, positivo, negativo (net perda). - Para
: todos os fatores positivos (net ganho).
Nos pontose temos .
Portanto:
- Quantidade total perdida no intervalo
é (porque ali). - Quantidade total ganha no intervalo
é .
Usamos a primitiva
para avaliar ambas.
Calcule
.
Já . Compute
:
Já
Logo
Como essa integral é negativa, a quantidade total perdida (valor positivo) é
Agora a quantidade total ganha:
Calcule
:
Portanto
Resposta
(a)
litros
(b) litros
(c) perda litros; ganho
litros
(b)
(c) perda