(2 ptos) Um tanque de água possui capacidade inicial de 100 litros. Ele está conectado a um sumidouro e a uma torneira, de modo que, às vezes ganha água e outras vezes perde. A taxa líquida de variação do volume de água é dada por p(t)=t^{3}-3 t^{2}+2 t em litros por minuto para t \geq 0.
(a) Qual será a quantidade de água no tanque no instante t=2 ?
(b) Qual será a variação de água no tanque entre os instantes t=\frac{1}{2} \mathrm{e} t=2 ?
(c) Calcule, no intervalo de tempo entre t=1 e t=4, a quantidade total de água perdida e a quantidade total de água ganha pelo tanque.

Passo 1

O enunciado dá a taxa líquida de variação do volume de água no tanque
p(t)=t^{3}-3t^{2}+2t,\quad t\ge 0,
e informa que o volume inicial no instante t=0 é 100 litros. Ele pede três coisas:
(a) a quantidade de água no tanque em t=2;
(b) a variação de água entre t=\tfrac{1}{2} e t=2;
(c) no intervalo t\in[1,4], a quantidade total de água perdida e a quantidade total de água ganha pelo tanque.
Informações relevantes listadas:
  • Taxa de variação instantânea do volume: p(t)=t^{3}-3t^{2}+2t.
  • Volume inicial: V(0)=100 litros.
  • Para achar variação/quantidade ganha ou perdida devemos integrar a taxa p(t) nos intervalos pedidos.

Passo 2

Primeiro lembrete importante (aula rápida): se p(t) é a taxa de variação do volume, isso quer dizer que
p(t)=V'(t),
onde V(t) é o volume em litros no instante t. Para obter variações de volume usamos integrais definidas: a variação de V entre a e b é
\Delta V=\int_{a}^{b} p(t)\,dt.
Além disso, para calcular integrais de polinômios podemos usar antiderivada (primitiva). Se \displaystyle p(t)=t^{3}-3t^{2}+2t, uma primitiva P(t) é obtida integrando termo a termo:
\int t^{3}\,dt=\frac{t^{4}}{4},\qquad \int -3t^{2}\,dt=-t^{3},\qquad \int 2t\,dt=t^{2}.
Somando, escolhemos a primitiva
P(t)=\frac{t^{4}}{4}-t^{3}+t^{2}.
Essa função satisfez P'(t)=p(t). Então integrais definidas serão avaliadas por \int_{a}^{b} p(t)\,dt = P(b)-P(a). Vou usar isso em todas as partes.

Passo 3

(a) Calcular o volume em t=2.
O volume V(2) é o volume inicial mais a variação entre 0 e 2:
V(2)=V(0)+\int_{0}^{2} p(t)\,dt.
Usando a primitiva P,
\int_{0}^{2} p(t)\,dt = P(2)-P(0).
Calculo P(2) e P(0):
P(2)=\frac{2^{4}}{4}-2^{3}+2^{2}=\frac{16}{4}-8+4=4-8+4=0,
P(0)=0.
Logo
\int_{0}^{2} p(t)\,dt = 0-0=0.
Portanto
V(2)=100+0=100\\ \text{litros}.

Passo 4

(b) Variação entre t=\tfrac{1}{2} e t=2.
A variação é
\Delta V=\int_{1/2}^{2} p(t)\,dt = P(2)-P\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Já sabemos P(2)=0. Agora calculamos P\!\left(\tfrac{1}{2}\right):
P\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}}{4}-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}.
Compute passo a passo:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\tfrac{1}{16}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{64},
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\tfrac{1}{8}, \qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Somando:
P\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{64}-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}.
Colocando em denomindor 64:
P\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1-8+16}{64}=\frac{9}{64}.
Assim
\Delta V=0-\frac{9}{64}=-\frac{9}{64}\\ \text{litros}\approx -0{,}140625\\ \text{L}.
O sinal negativo indica que houve perda líquida de água nesse intervalo.

Passo 5

(c) No intervalo [1,4]: calcular quantidade total perdida e total ganha.
Primeiro, para separar perda e ganho precisamos saber onde p(t) é positiva ou negativa. Fatorando p(t):
p(t)=t^{3}-3t^{2}+2t = t(t^{2}-3t+2)=t(t-1)(t-2).
As raízes são t=0,1,2. No intervalo [1,4] temos pontos críticos em t=1 e t=2. Analisando signos:
  • Para 1<t<2: t>0 positivo, t-1>0 positivo, t-2<0 negativo \Rightarrow p(t)<0 (net perda).
  • Para 2<t\le 4: todos os fatores positivos \Rightarrow p(t)>0 (net ganho).
    Nos pontos t=1 e t=2 temos p=0.
Portanto:
  • Quantidade total perdida no intervalo [1,2] é \displaystyle \int_{1}^{2} -p(t)\,dt = -\int_{1}^{2} p(t)\,dt (porque p\le 0 ali).
  • Quantidade total ganha no intervalo [2,4] é \displaystyle \int_{2}^{4} p(t)\,dt.
Usamos a primitiva P para avaliar ambas.
Calcule \int_{1}^{2} p(t)\,dt = P(2)-P(1).
P(2)=0. Compute P(1):
P(1)=\frac{1^{4}}{4}-1^{3}+1^{2}=\frac{1}{4}-1+1=\frac{1}{4}.
Logo
\int_{1}^{2} p(t)\,dt = 0-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}.
Como essa integral é negativa, a quantidade total perdida (valor positivo) é
\text{perda} = -\int_{1}^{2} p(t)\,dt = -\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}\\ \text{litros}.
Agora a quantidade total ganha:
\int_{2}^{4} p(t)\,dt = P(4)-P(2)=P(4)-0=P(4).
Calcule P(4):
P(4)=\frac{4^{4}}{4}-4^{3}+4^{2}=\frac{256}{4}-64+16=64-64+16=16.
Portanto
\text{ganho}=\int_{2}^{4} p(t)\,dt=16\\ \text{litros}.

Resposta

(a) 100 litros
(b) -\dfrac{9}{64} litros
(c) perda =\dfrac{1}{4} litros; ganho =16 litros

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