Use integrais triplas para calcular o volume dos sólidos W descritos a seguir. W é o tetraedro no primeiro octante delimitado pelos plano o coordenados e o plano passando por (1,0,0),(0,2,0) e (0,0,3)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido W que é um tetraedro no primeiro octante, delimitado pelos três planos coordenados e por um plano que passa por (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3).
Informações dadas:
Pontos do plano: (1,0,0), (0,2,0), (0,0,3).
Região está no primeiro octante, portanto x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
O que se pede: o volume do tetraedro W.
Passo 2
Vamos encontrar a equação do plano que passa por (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3). Como esses pontos são interceptos nos eixos x, y e z, podemos usar a forma de interceptos de um plano. A forma de interceptos diz que, se um plano corta os eixos em a, b, c, então sua equação é
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.
Aqui os interceptos são a=1, b=2, c=3. Logo a equação do plano é
\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1.
Passo 3
Isolando z na equação do plano para usar como limite superior na integral:
\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1
\frac{z}{3}=1-x-\frac{y}{2}
z=3\left(1-x-\frac{y}{2}\right)
z=3-3x-\frac{3}{2}y.
Passo 4
Agora descrevemos os limites do sólido W. Como estamos no primeiro octante, x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0. O plano dá o limite superior para z, então temos 0\le z\le 3-3x-\tfrac{3}{2}y. Para que esse limite superior seja não negativo é necessário
3-3x-\frac{3}{2}y\ge 0
Dividindo por 3:
1-x-\frac{y}{2}\ge 0
\frac{y}{2}\le 1-x
y\le 2(1-x).
Como y\ge 0, isso também força 1-x\ge 0, ou seja x\le 1. Portanto os limites para x são 0\le x\le 1, e para cada x temos 0\le y\le 2(1-x).
Passo 5
Montamos a integral tripla do volume. O volume é a integral de 1 sobre a região W. Escolhendo a ordem de integração dz\,dy\,dx (primeiro z, depois y, depois x), temos: