Use integrais triplas para calcular o volume dos sólidos W descritos a seguir.
W é o tetraedro no primeiro octante delimitado pelos plano o coordenados e o plano passando por (1,0,0),(0,2,0) e (0,0,3)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido W que é um tetraedro no primeiro octante, delimitado pelos três planos coordenados e por um plano que passa por (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3).
Informações dadas:
  • Pontos do plano: (1,0,0), (0,2,0), (0,0,3).
  • Região está no primeiro octante, portanto x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
    O que se pede: o volume do tetraedro W.

Passo 2

Vamos encontrar a equação do plano que passa por (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3). Como esses pontos são interceptos nos eixos x, y e z, podemos usar a forma de interceptos de um plano. A forma de interceptos diz que, se um plano corta os eixos em a, b, c, então sua equação é
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.
Aqui os interceptos são a=1, b=2, c=3. Logo a equação do plano é
\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1.

Passo 3

Isolando z na equação do plano para usar como limite superior na integral:
\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1
\frac{z}{3}=1-x-\frac{y}{2}
z=3\left(1-x-\frac{y}{2}\right)
z=3-3x-\frac{3}{2}y.

Passo 4

Agora descrevemos os limites do sólido W. Como estamos no primeiro octante, x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0. O plano dá o limite superior para z, então temos 0\le z\le 3-3x-\tfrac{3}{2}y. Para que esse limite superior seja não negativo é necessário
3-3x-\frac{3}{2}y\ge 0
Dividindo por 3:
1-x-\frac{y}{2}\ge 0
\frac{y}{2}\le 1-x
y\le 2(1-x).
Como y\ge 0, isso também força 1-x\ge 0, ou seja x\le 1. Portanto os limites para x são 0\le x\le 1, e para cada x temos 0\le y\le 2(1-x).

Passo 5

Montamos a integral tripla do volume. O volume é a integral de 1 sobre a região W. Escolhendo a ordem de integração dz\,dy\,dx (primeiro z, depois y, depois x), temos:
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2(1-x)}\int_{z=0}^{3-3x-\tfrac{3}{2}y} 1\,dz\,dy\,dx.

Passo 6

Calculamos a integral interna em z. Integrar 1 em z de 0 até 3-3x-\tfrac{3}{2}y dá simplesmente a altura:
\int_{z=0}^{3-3x-\tfrac{3}{2}y} 1\,dz = 3-3x-\frac{3}{2}y.
Então a integral dupla restante é
V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2(1-x)}\left(3-3x-\frac{3}{2}y\right)dy\,dx.

Passo 7

Agora integramos em y. Para facilitar, chamo A=3-3x (é uma constante em relação a y). Então
\int_{0}^{2(1-x)}\left(A-\frac{3}{2}y\right)dy = A\cdot y - \frac{3}{4}y^{2}\Bigg|_{0}^{2(1-x)}.
Substituindo A=3-3x=3(1-x) e y=2(1-x) obtemos
A\cdot 2(1-x) - \frac{3}{4}\left[2(1-x)\right]^{2}.
Calculemos termo a termo:
A\cdot 2(1-x)=3(1-x)\cdot 2(1-x)=6(1-x)^{2},
\frac{3}{4}\left[2(1-x)\right]^{2}=\frac{3}{4}\cdot 4(1-x)^{2}=3(1-x)^{2}.
Subtraindo:
6(1-x)^{2}-3(1-x)^{2}=3(1-x)^{2}.
Portanto a integral em y 3(1-x)^{2}. Agora a integral em x é
V=\int_{0}^{1} 3(1-x)^{2} dx.

Passo 8

Integramos em x. Podemos expandir ou usar substituição simples. Expandindo:
(1-x)^{2}=1-2x+x^{2}.
Então
V=3\int_{0}^{1} (1-2x+x^{2}) dx =3\left[x - x^{2} + \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}.
Avalia em 1 e 0:
x - x^{2} + \frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=1-1+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.
Multiplicando por 3 obtemos
V=3\cdot\frac{1}{3}=1.

Passo 9

Verificação rápida (fórmula conhecida): um tetraedro com interceptos a, b, c nos eixos tem volume V=\dfrac{abc}{6}. Aqui a=1, b=2, c=3 então
V=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=1,
confirma o resultado anterior.

Resposta

1

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