(3,0 ptos) Determine o limite \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \cdot \ln x}{e^{x}} utilizando a Regra de L’Hôspital.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\ln x}{e^x}
usando a Regra de L’Hôpital, que serve para resolver limites em forma indeterminada. Vamos identificar a forma indeterminada, aplicar L’Hôpital quantas vezes for necessário e chegar a um limite que possamos avaliar diretamente.

Passo 2

Quando x\to+\infty, o numerador x\ln x\to+\infty e o denominador e^x\to+\infty, caracterizando uma forma \tfrac{+\infty}{+\infty}. Assim, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz:
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando \tfrac{f(x)}{g(x)} é \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}.

Passo 3

Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr)=\ln x+1, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(e^x\bigr)=e^x.
Então o limite vira
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x+1}{e^x}.

Passo 4

Para esse novo limite, quando x\to+\infty temos \ln x+1\to+\infty e e^x\to+\infty, outra forma \tfrac{+\infty}{+\infty}. Aplicamos L’Hôpital de novo:
\frac{d}{dx}(\ln x+1)=\frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}(e^x)=e^x,
e obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{e^x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x\,e^x}.

Passo 5

Como e^x cresce muito mais rápido que x, o termo x\,e^x tende a +\infty e, portanto,
\frac{1}{x\,e^x}\longrightarrow0.
Logo, o limite original é 0.

Resposta

0

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