Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int \frac{\ln (x)}{x\left[1+4 \ln ^{2}(x)\right]} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\ln(x)}{x\bigl[1+4\ln^2(x)\bigr]}\,dx
usando o método de substituição. O conteúdo principal aqui é reconhecer que a derivada de \ln(x) aparece no integrando, sugerindo a troca de variável u=\ln(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln(x).
Então, tomando diferencial em ambos os lados, obtemos
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = x\,du.
Mas como du = dx/x, basta trocar dx/x por du.

Passo 3

Reescrevendo o integrando em termos de u:
\frac{\ln(x)}{x\bigl[1+4\ln^2(x)\bigr]}\,dx = \frac{u}{1+4u^2}\,\underbrace{\frac{dx}{x}}_{du} = \frac{u}{1+4u^2}\,du.
Portanto a integral vira
\int \frac{u}{1+4u^2}\,du.

Passo 4

Para integrar \int \frac{u}{1+4u^2}\,du, fazemos uma segunda substituição
w = 1 + 4u^2 \quad\Longrightarrow\quad dw = 8u\,du \quad\Longrightarrow\quad u\,du = \frac{1}{8}\,dw.
Assim
\int \frac{u}{1+4u^2}\,du = \int \frac{1}{w}\,\Bigl(\frac{1}{8}\,dw\Bigr) = \frac{1}{8}\int \frac{dw}{w}.

Passo 5

A integral de 1/w é o logaritmo natural, logo
\frac{1}{8}\int \frac{dw}{w} = \frac{1}{8}\ln\lvert w\rvert + C = \frac{1}{8}\ln\bigl(1+4u^2\bigr) + C,
pois 1+4u^2>0 para todo u.

Passo 6

Voltando à variável original u=\ln(x), concluímos
\int \frac{\ln(x)}{x\bigl[1+4\ln^2(x)\bigr]}\,dx = \frac{1}{8}\ln\bigl(1+4\ln^2(x)\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{8}\ln\bigl(1+4\ln^2(x)\bigr) + C

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