Q4) (2 ptos.) Um paciente tomou 750 mg de amoxicilina por via oral. Isso faz com que a concentração da substância no sangue atinja 54,8 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Sabendo que para este medicamento continuar funcionando, a concentração da amoxicilina no sangue não pode cair abaixo de 5,48 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}, calcule:
a) O tempo de meia-vida de eliminação da amoxicilina, sabendo que a amoxicilina é eliminada com \mathrm{k}= 5,33 \times 10^{-1} \mathrm{~h}^{-1};
b) Em quanto tempo o paciente deverá tomar o próximo comprimido?

Passo 1

O enunciado trata da cinética de eliminação de primeira ordem da amoxicilina no sangue. Sabemos que, imediatamente após a dose oral de 750 mg, a concentração é C_0 = 54{,}8, \mathrm{mol/L}, e que a eliminação segue uma taxa constante k = 5{,}33\times 10^{-1}, \mathrm{h^{-1}}. Precisamos
  • em (a) encontrar o tempo de meia-vida t_{1/2}, sabendo que para reações de primeira ordem
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k},
  • em (b) achar o tempo t para que a concentração decresça de C_0 até o limite mínimo C_{\min}=5{,}48, \mathrm{mol/L}, usando
C(t) = C_0\,e^{-k t}.

Passo 2

Aplicamos a fórmula da meia-vida para uma cinética de primeira ordem:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.

Passo 3

Substituindo k = 5{,}33\times 10^{-1}, \mathrm{h^{-1}}:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{5{,}33\times 10^{-1}} = \frac{0{,}6931}{0{,}533} \approx 1{,}30\\ \mathrm{h}.

Passo 4

Para achar o tempo até a concentração chegar em C_{\min}, usamos
C(t) = C_0\,e^{-k t} \quad\Longrightarrow\quad e^{-k t} = \frac{C(t)}{C_0} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{k}\ln\!\Bigl(\frac{C_0}{C_{\min}}\Bigr).

Passo 5

Como C_0/C_{\min}=54{,}8/5{,}48=10, então
t = \frac{1}{5{,}33\times 10^{-1}}\ln(10) = \frac{2{,}3026}{0{,}533} \approx 4{,}32\\ \mathrm{h}.

Resposta

a) t_{1/2}\approx 1{,}30\\ \mathrm{h}.
b) O próximo comprimido deve ser tomado 4{,}32\\ \mathrm{h} após o anterior.

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