(2.0 ptos) Seja ( V,+, \cdot, \mathbb{R} ) um espaço vetorial com produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle.
Consideremos dois vetores u, v \in V. Mostrar que:
\{u, v\} \text { é L.D. } \Longleftrightarrow|\langle u, v\rangle|=\|u\|\|v\|é

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial V com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle, dois vetores u,v\in V são linearmente dependentes se, e somente se,
|\langle u,v\rangle| = \|u\|\,\|v\|.
O conteúdo principal aqui é a Desigualdade de Cauchy–Schwarz e o caso de igualdade dessa desigualdade.

Passo 2

Suponha primeiro que \{u,v\} é linearmente dependente. Então existe escalar \alpha\in\mathbb{R} tal que
u = \alpha\,v \quad\text{ou}\quad v = \beta\,u.
Sem perda de generalidade, usemos u=\alpha v. Então
\langle u,v\rangle = \langle \alpha v,\,v\rangle = \alpha\,\langle v,v\rangle = \alpha\,\|v\|^2,
de onde
|\langle u,v\rangle| = |\alpha|\,\|v\|^2.
Por outro lado,
\|u\|\,\|v\| = \|\alpha v\|\,\|v\| = |\alpha|\,\|v\|\,\|v\| = |\alpha|\,\|v\|^2.
Logo,
|\langle u,v\rangle| = \|u\|\,\|v\|.

Passo 3

Agora suponha que
|\langle u,v\rangle| = \|u\|\,\|v\|.
Pela Desigualdade de Cauchy–Schwarz já sabemos sempre
|\langle u,v\rangle| \le \|u\|\,\|v\|,
então a hipótese diz que alcançamos o caso de igualdade. Um modo direto de concluir que isso implica dependência linear é considerar o vetor
w = u - \frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}\,v
e verificar que \|w\|^2=0. De fato,
\|w\|^2 = \Bigl\langle u - \frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v,\;u - \frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v\Bigr\rangle = \|u\|^2 - 2\,\frac{|\langle u,v\rangle|^2}{\|v\|^2} + \frac{|\langle u,v\rangle|^2}{\|v\|^2} = \|u\|^2 - \frac{|\langle u,v\rangle|^2}{\|v\|^2}.
Mas pela hipótese |\langle u,v\rangle|^2 = \|u\|^2\,\|v\|^2, temos
\|w\|^2 = \|u\|^2 - \frac{\|u\|^2\,\|v\|^2}{\|v\|^2} = 0.
Assim w=0, ou seja,
u = \frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}\,v.
Isto mostra que u é múltiplo de v, logo \{u,v\} é linearmente dependente.

Resposta

Mostramos as duas implicações, concluindo que
\{u,v\}\text{ é L.D.} \quad\Longleftrightarrow\quad |\langle u,v\rangle| = \|u\|\,\|v\|.é

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