(2.0 ptos) Seja (
) um espaço vetorial com produto interno
.
Consideremos dois vetores
. Mostrar que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial
com produto interno
, dois vetores
são linearmente dependentes se, e somente se,
O conteúdo principal aqui é a Desigualdade de Cauchy–Schwarz e o caso de igualdade dessa desigualdade.
Passo 2
Suponha primeiro que
é linearmente dependente. Então existe escalar
tal que
Sem perda de generalidade, usemos
. Então
de onde
Por outro lado,
Logo,
Passo 3
Agora suponha que
Pela Desigualdade de Cauchy–Schwarz já sabemos sempre
então a hipótese diz que alcançamos o caso de igualdade. Um modo direto de concluir que isso implica dependência linear é considerar o vetor
e verificar que
. De fato,
Mas pela hipótese
, temos
Assim
, ou seja,
Isto mostra que
é múltiplo de
, logo
é linearmente dependente.
Resposta
Mostramos as duas implicações, concluindo que