O enunciado define o espaço vetorial M(2,2) de matrizes reais 2\times2 com o produto interno canônico. Temos as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ -4 & 8\end{pmatrix},
e devemos calcular:
i) as normas \|A\| e \|B\|,
ii) a distância d(A,B),
iii) o ângulo \measuredangle(A,B).
Passo 2
A norma de uma matriz X é dada por \|X\| = \sqrt{\langle X,X\rangle}, onde o produto interno canônico é \langle X,X\rangle = \sum_{i,j}x_{ij}^2. Assim,
\|A\|^2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 7,
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\|A\| = \sqrt{7}.
Passo 3
De modo análogo, para B temos
\|B\|^2 = 1^2 + 4^2 + (-4)^2 + 8^2 = 97,
portanto
\|B\| = \sqrt{97}.
Passo 4
A distância é definida por d(A,B)=\|A-B\|. Primeiro
A - B = \begin{pmatrix}1-1 & 1-4 \\\\ -1-(-4) & 2-8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -3 \\\\ 3 & -6\end{pmatrix},