(3.0 ptos) Seja ( M(2,2),+, \cdot, \mathbb{R} ) espaço vetorial com o produto interno canônico.
Consideremos as seguintes matrizes
Determinar:
A=\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rr} 1 & 4 \\\\ -4 & 8 \end{array}\right]
i) \|A\| \mathrm{e}\|B\|,
ii) d(A, B),
iii) \measuredangle(A, B).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial M(2,2) de matrizes reais 2\times2 com o produto interno canônico. Temos as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ -4 & 8\end{pmatrix},
e devemos calcular:
i) as normas \|A\| e \|B\|,
ii) a distância d(A,B),
iii) o ângulo \measuredangle(A,B).

Passo 2

A norma de uma matriz X é dada por \|X\| = \sqrt{\langle X,X\rangle}, onde o produto interno canônico é \langle X,X\rangle = \sum_{i,j}x_{ij}^2. Assim,
\|A\|^2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 7,
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\|A\| = \sqrt{7}.

Passo 3

De modo análogo, para B temos
\|B\|^2 = 1^2 + 4^2 + (-4)^2 + 8^2 = 97,
portanto
\|B\| = \sqrt{97}.

Passo 4

A distância é definida por d(A,B)=\|A-B\|. Primeiro
A - B = \begin{pmatrix}1-1 & 1-4 \\\\ -1-(-4) & 2-8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -3 \\\\ 3 & -6\end{pmatrix},
e
\|A-B\|^2 = 0^2 + (-3)^2 + 3^2 + (-6)^2 = 54,
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d(A,B) = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}.

Passo 5

O produto interno canônico é
\langle A,B\rangle = \sum_{i,j}a_{ij}b_{ij} = 1\cdot1 + 1\cdot4 + (-1)\cdot(-4) + 2\cdot8 = 25.
O cosseno do ângulo \theta entre A e B satisfaz
\cos\theta = \frac{\langle A,B\rangle}{\|A\|\|B\|} = \frac{25}{\sqrt{7}\,\sqrt{97}} = \frac{25}{\sqrt{679}}.
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\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{25}{\sqrt{679}}\Bigr).

Resposta

\|A\| = \sqrt{7}, \|B\| = \sqrt{97} d(A,B) = 3\sqrt{6} \measuredangle(A,B) = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{25}{\sqrt{679}}\bigr)

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