(3.0 ptos) Seja
espaço vetorial com o produto interno
definido como:
Consideremos a transformação linear
definida como
e denotemos
.
Determine
uma base ortonormal de
com o produto interno
.
Determine
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal de
em
com o produto interno
O plano
é a imagem da transformação linear
Para achar uma base ortonormal de
usaremos:
- calcular imagens de vetores para obter uma base de
, - aplicar Gram–Schmidt com o produto interno dado.
Passo 2
Calculamos
:
Note que
, logo
.
Escolhemos como base inicial de os vetores
Escolhemos como base inicial de
Passo 3
Normalizamos primeiro
.
Calculamos
Calculamos
logo
Passo 4
Para achar o segundo vetor ortogonal a
, definimos
Primeiro
e assim
Então
Passo 5
Agora normalizamos
.
Calculamos
Calculamos
Logo
e
Resposta
Uma base ortonormal de
para o produto interno dado é