(3.0 ptos) Seja \left(\mathbb{R}^{3},+, \cdot, \mathbb{R}\right) espaço vetorial com o produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle definido como:
\left.\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=5 x_{1} x_{2}+2 y_{1} y_{2}+z_{1} z_{3}
Consideremos a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida como
T(x, y, z)=(x-y, z-x, x-z)
e denotemos W=\operatorname{Im}(T).
Determine B_{\mathcal{O}} uma base ortonormal de W com o produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de W=\Im(T) em \R^3 com o produto interno
\langle (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\rangle =5x_1x_2+2y_1y_2+z_1z_2.
O plano W é a imagem da transformação linear
T(x,y,z)=(x-y,\;z-x,\;x-z).
Para achar uma base ortonormal de W usaremos:
  1. calcular imagens de vetores para obter uma base de W,
  2. aplicar Gram–Schmidt com o produto interno dado.

Passo 2

Calculamos T(e_1),T(e_2),T(e_3):
T(e_1)=(1,-1,1),\quad T(e_2)=(-1,0,0),\quad T(e_3)=(0,1,-1).
Note que (1,-1,1)+(-1,0,0)+(0,1,-1)=(0,0,0), logo \dim W=2.
Escolhemos como base inicial de W os vetores
v_1=(1,-1,1),\quad v_2=(-1,0,0).

Passo 3

Normalizamos primeiro v_1.
Calculamos
\langle v_1,v_1\rangle =5\cdot1^2+2\cdot(-1)^2+1\cdot1^2=5+2+1=8,
logo
u_1=\frac{v_1}{\sqrt{8}} =\frac1{2\sqrt2}(1,-1,1).

Passo 4

Para achar o segundo vetor ortogonal a u_1, definimos
w_2=v_2-\langle v_2,u_1\rangle\,u_1.
Primeiro
\langle v_2,v_1\rangle =5\cdot(-1)\cdot1+2\cdot0\cdot(-1)+1\cdot0\cdot1=-5,
e assim
\langle v_2,u_1\rangle =\frac{\langle v_2,v_1\rangle}{\sqrt{8}} =-\frac{5}{2\sqrt2}.
Então
w_2 =v_2+\frac{5}{2\sqrt2}\,u_1 =\bigl(-1,0,0\bigr) +\frac{5}{2\sqrt2}\,\frac1{2\sqrt2}(1,-1,1) =\frac1{8}(-3,-5,5).

Passo 5

Agora normalizamos w_2.
Calculamos
\langle w_2,w_2\rangle =\frac1{64}\bigl[ 5\cdot(-3)^2+2\cdot(-5)^2+1\cdot5^2 \bigr] =\frac{120}{64}=\frac{15}{8}.
Logo
\|w_2\|=\sqrt{\frac{15}{8}} =\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt2},
e
u_2=\frac{w_2}{\|w_2\|} =\frac{\tfrac1{8}(-3,-5,5)}{\tfrac{\sqrt{15}}{2\sqrt2}} =\frac{\sqrt2}{4\sqrt{15}}(-3,-5,5).

Resposta

Uma base ortonormal de W para o produto interno dado é
B_{\mathcal O} =\Bigl\{ u_1=\frac1{2\sqrt2}(1,-1,1),\; u_2=\frac{\sqrt2}{4\sqrt{15}}(-3,-5,5) \Bigr\}.

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