2 Ptos. Teorema da Divergência
Enúncie o teorema da Divergência e ilustre sua aplição através do cálculo de uma integral de Linha.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos enunciar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) e depois ilustrar sua aplicação calculando uma integral de linha de fluxo (isto é, o fluxo de um campo vetorial através da fronteira de uma região). O conteúdo envolve divergência, vetor normal externo e relação entre integral de superfície (ou linha, no caso 2D) e integral de volume (ou área).

Passo 2

O enunciado do Teorema da Divergência em 2D (forma normal de Green) é: seja D uma região do plano com fronteira C suave e orientada positivamente (sentido anti-horário), e seja F(x,y)=lang<= P(x,y),Q(x,y)rang<= um campo vetorial suave. Então
ointCFcdotn,ds = integral duplaD!l(partial Ppartial x + partial Qpartial yr),dA,
onde n é o vetor normal unitário externo a D e ds o elemento de comprimento ao longo de C.

Passo 3

Para ilustrar, escolhemos o campo F(x,y)=lang<= x,yrang<= e a região D disco de raio R centrado na origem. Queremos calcular o fluxo ointCFcdotn,ds.

Passo 4

Cálculo direto do fluxo em coordenadas polares: ao longo de C temos x=Rcostheta, y=Rsintheta, o normal externo é n=(costheta,sintheta) e ds=R,dtheta. Então
Fcdotn = xcostheta + ysintheta = R(cos^2theta + sin^2theta) = R,
portanto
ointCFcdotn,ds = integral0^2pi R cdot R,dtheta = R^2integral0^2pi dtheta = 2pi R^2

Passo 5

Agora pelo Teorema da Divergência: calculamos a divergência de F
div,F = partial xpartial x + partial ypartial y = 1 + 1 = 2

Passo 6

Logo
integral duplaD2,dA = 2 cdot área(D) = 2cdot(pi R^2) = 2pi R^2,á

Passo 7

que coincide com o resultado do cálculo direto. Isso ilustra bem o Teorema da Divergência.
Concluímos que a integral de fluxo através de C confere exatamente com a integral dupla da divergência sobre D, evidenciando o teorema.

Resposta

O fluxo ointCFcdotn,ds vale 2pi R^2, coincide com integral duplaDdiv,F,dA=2pi R^2, mostrando a validade do Teorema da Divergência.

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