2 Ptos. Teorema da Divergência
Enúncie o teorema da Divergência e ilustre sua aplição através do cálculo de uma integral de Linha.
Enúncie o teorema da Divergência e ilustre sua aplição através do cálculo de uma integral de Linha.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos enunciar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) e depois ilustrar sua aplicação calculando uma integral de linha de fluxo (isto é, o fluxo de um campo vetorial através da fronteira de uma região). O conteúdo envolve divergência, vetor normal externo e relação entre integral de superfície (ou linha, no caso 2D) e integral de volume (ou área).
Passo 2
O enunciado do Teorema da Divergência em 2D (forma normal de Green) é: seja D uma região do plano com fronteira C suave e orientada positivamente (sentido anti-horário), e seja
um campo vetorial suave. Então
onde
Passo 3
Para ilustrar, escolhemos o campo
e a região
disco de raio
centrado na origem. Queremos calcular o fluxo
.
Passo 4
Cálculo direto do fluxo em coordenadas polares: ao longo de
temos
,
, o normal externo é
e
. Então
portanto
Passo 5
Agora pelo Teorema da Divergência: calculamos a divergência de
Passo 6
Logo
Passo 7
que coincide com o resultado do cálculo direto. Isso ilustra bem o Teorema da Divergência.
Concluímos que a integral de fluxo através de confere exatamente com a integral dupla da divergência sobre
, evidenciando o teorema.
Concluímos que a integral de fluxo através de
Resposta
O fluxo
vale
, coincide com
, mostrando a validade do Teorema da Divergência.