2,5 Ptos. Determinar as seguintes integrais de Linha
Calcular a integral de f(x, y, z)=(y z, x z, x y+1) no deslocamento ao longo do arco de parábola x=y^2-1, z=3, do ponto A(-1,0,3) ao ponto B(3,-2,3).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o campo vetorial vec f(x,y,z)=(yz,,xz,,xy+1) e queremos calcular a integral de linha integralCvec fcdot dvec r ao longo da curva C definida por x=y^2-1, z=3, do ponto A(-1,0,3) até B(3,-2,3). O conteúdo aqui é integral de linha de campo conservativo, e precisamos reconhecer se vec f é gradiente de alguma função potencial.

Passo 2

Verificação de que vec f é conservativo: denotando P=yz, Q=xz, R=xy+1, conferimos as igualdades das derivadas mistas:
partial Ppartial y=z,partial Qpartial x=z;partial Ppartial z=y,partial Rpartial x=y;partial Qpartial z=x,partial Rpartial y=x
Como todas conferem, existe uma função potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi=vec f.

Passo 3

Cálculo da função potencial phi: integramos P=yz em relação a x:
phi(x,y,z)=integral yz,dx=xyz+g(y,z)Derivando em relação a y e igualando a Q=xz obtemos gy=0, logo g=g(z). Derivando em relação a z e igualando a R=xy+1 g'(z)=1, então g(z)=z+constante. Portanto
phi(x,y,z)=xyz+z+C

Passo 4

Aplicação do teorema fundamental: a integral de linha é phi(B)-phi(A). Calculando em B(3,-2,3):
phi(B)=3cdot(-2)cdot3+3+C=-18+3+C=-15+C,e em A(-1,0,3):
phi(A)=-1cdot0cdot3+3+C=0+3+C=3+CSubtraindo:
integralCvec fcdot dvec r=phi(B)-phi(A)=(-15+C)-(3+C)=-18

Resposta

-18

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