(0,5 pts.) Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície
no ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície descrita pela equação
e o ponto
. As perguntas são:
- Achar uma equação do plano tangente à superfície no ponto
. - Achar as equações da reta normal à superfície no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação da superfície é
. - O ponto onde se deseja o plano tangente e a reta normal é
. - Observação do domínio (extraída da forma da equação): as raízes quadradas exigem
. - Verificação rápida (pegando dados do enunciado):
, logo o ponto pertence à superfície.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática). Vou definir uma função implícita
A superfície é o nível
. Uma propriedade fundamental (explicada a seguir) é: o vetor gradiente de
,
é um vetor normal à superfície em cada ponto. Portanto, para obter o plano tangente no ponto dado basta calcular
e usar a fórmula do plano tangente para uma superfície implícita. A reta normal tem direção dada por esse vetor normal e passa pelo ponto dado; assim suas equações paramétricas são imediatas.
Explicação rápida do porquê: se
é constante sobre a superfície, então, para deslocamentos pequenos
tangentes à superfície tem-se, em primeira ordem,
o que dá a equação do plano tangente.
Passo 3
Derivação das derivadas parciais (passo a passo, com lembrete de fórmula). Regra básica: para uma função univariada
vale
. Aplicando isso em derivadas parciais, tratando as outras variáveis como constantes, obtemos:
Aqui cada
representa a taxa de variação de
em relação àquela variável, mantendo as outras fixas.
Passo 4
Avaliação do gradiente no ponto
. Substituímos
,
,
nas fórmulas das parciais:
Logo o vetor gradiente no ponto é
Podemos multiplicar esse vetor por
(qualquer múltiplo não nulo também é normal) para obter um vetor com coeficientes inteiros mais simples:
Esse será o vetor normal que vamos usar para escrever o plano tangente e a reta normal.
Passo 5
Construção da equação do plano tangente (fórmula e substituição). A equação do plano tangente a uma superfície implícita
em
pode ser escrita como
Usando
e
, obtemos
Agora desenvolvendo os parênteses:
Somando os termos constantes
para o outro lado:
ou seja
Pequena verificação: substituindo o ponto
dá
, checando que o plano realmente passa pelo ponto.
Passo 6
Equações da reta normal (paramétrica e simétrica) e explicação. A reta normal em
tem como direção o vetor normal
. A forma paramétrica da reta (com parâmetro
) é:
A forma simétrica correspondente, eliminando
, é
Observação didática: qualquer múltiplo do vetor normal poderia ter sido usado; por isso escolhemos
por ser inteiro e simples.