(0,5 pts.) Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}+z^{\frac{1}{2}}=4 no ponto (4,1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície descrita pela equação
x^{\tfrac{1}{2}}+y^{\tfrac{1}{2}}+z^{\tfrac{1}{2}}=4
e o ponto (4,1,1). As perguntas são:
  • Achar uma equação do plano tangente à superfície no ponto (4,1,1).
  • Achar as equações da reta normal à superfície no ponto (4,1,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação da superfície é x^{\tfrac{1}{2}}+y^{\tfrac{1}{2}}+z^{\tfrac{1}{2}}=4.
  • O ponto onde se deseja o plano tangente e a reta normal é (4,1,1).
  • Observação do domínio (extraída da forma da equação): as raízes quadradas exigem x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0.
  • Verificação rápida (pegando dados do enunciado): \sqrt{4}+\sqrt{1}+\sqrt{1}=2+1+1=4, logo o ponto (4,1,1) pertence à superfície.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática). Vou definir uma função implícita
F(x,y,z)=x^{\tfrac{1}{2}}+y^{\tfrac{1}{2}}+z^{\tfrac{1}{2}}-4.
A superfície é o nível F(x,y,z)=0. Uma propriedade fundamental (explicada a seguir) é: o vetor gradiente de F,
\nabla F=(F_x,F_y,F_z),
é um vetor normal à superfície em cada ponto. Portanto, para obter o plano tangente no ponto dado basta calcular \nabla F(4,1,1) e usar a fórmula do plano tangente para uma superfície implícita. A reta normal tem direção dada por esse vetor normal e passa pelo ponto dado; assim suas equações paramétricas são imediatas.
Explicação rápida do porquê: se F é constante sobre a superfície, então, para deslocamentos pequenos (\Delta x,\Delta y,\Delta z) tangentes à superfície tem-se, em primeira ordem,
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot(\Delta x,\Delta y,\Delta z)=0,
o que dá a equação do plano tangente.

Passo 3

Derivação das derivadas parciais (passo a passo, com lembrete de fórmula). Regra básica: para uma função univariada u\mapsto u^{a} vale \dfrac{d}{du}u^{a}=a\,u^{a-1}. Aplicando isso em derivadas parciais, tratando as outras variáveis como constantes, obtemos:
F_x(x,y,z)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
F_y(x,y,z)=\frac{1}{2}y^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{y}},
F_z(x,y,z)=\frac{1}{2}z^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{z}}.
Aqui cada F_x,F_y,F_z representa a taxa de variação de F em relação àquela variável, mantendo as outras fixas.

Passo 4

Avaliação do gradiente no ponto (4,1,1). Substituímos x=4, y=1, z=1 nas fórmulas das parciais:
F_x(4,1,1)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4},
F_y(4,1,1)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2},
F_z(4,1,1)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}.
Logo o vetor gradiente no ponto é
\nabla F(4,1,1)=\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).
Podemos multiplicar esse vetor por 4 (qualquer múltiplo não nulo também é normal) para obter um vetor com coeficientes inteiros mais simples:
\mathbf{n}=(1,2,2).
Esse será o vetor normal que vamos usar para escrever o plano tangente e a reta normal.

Passo 5

Construção da equação do plano tangente (fórmula e substituição). A equação do plano tangente a uma superfície implícita F(x,y,z)=0 em (x_0,y_0,z_0) pode ser escrita como
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.
Usando \mathbf{n}=(1,2,2) e (x_0,y_0,z_0)=(4,1,1), obtemos
1\cdot(x-4)+2\cdot(y-1)+2\cdot(z-1)=0.
Agora desenvolvendo os parênteses:
x-4+2y-2+2z-2=0.
Somando os termos constantes -4-2-2=-8 para o outro lado:
x+2y+2z-8=0,
ou seja
x+2y+2z=8.
Pequena verificação: substituindo o ponto (4,1,1) 4+2\cdot1+2\cdot1=4+2+2=8, checando que o plano realmente passa pelo ponto.

Passo 6

Equações da reta normal (paramétrica e simétrica) e explicação. A reta normal em (4,1,1) tem como direção o vetor normal \mathbf{n}=(1,2,2). A forma paramétrica da reta (com parâmetro t\in\mathbb{R}) é:
x=4+t,\qquad y=1+2t,\qquad z=1+2t.
A forma simétrica correspondente, eliminando t, é
\frac{x-4}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}.
Observação didática: qualquer múltiplo do vetor normal poderia ter sido usado; por isso escolhemos (1,2,2) por ser inteiro e simples.

Resposta

x+2y+2z=8
x=4+t,\;y=1+2t,\;z=1+2t \Longleftrightarrow \dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{2}

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