Resolver
\left(y+x^{3} y\right) d y-x^{2} y^{2} d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y+x^{3} y\right) d y-x^{2} y^{2} d x=0
e pede que se encontre a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação aparece escrita em forma diferencial com termos em d x e d y.
  • Há fatores x^{2}, x^{3} e potências de y.
  • Não há condições iniciais fornecidas, então pedimos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação e simplificá-la antes de resolver. Primeiro escrevo explicitamente os dois termos:
\left(y+x^{3} y\right) d y - x^{2} y^{2} d x = 0.
Fatorando y no primeiro termo:
y(1+x^{3})\,d y - x^{2} y^{2}\,d x = 0.
Agora isolo os termos com d x e d y. Uma estratégia natural é verificar se a equação é separável (ou seja, se dá para escrever algo da forma g(y)\,d y = f(x)\,d x). Para isso passo o termo com d x para o outro membro:
y(1+x^{3})\,d y = x^{2} y^{2}\,d x.
Antes de dividir por y, notemos que y\equiv 0 é uma solução trivial: substituindo y=0 em todos os termos obtém-se 0=0. Agora, em regiões onde y\neq 0, podemos dividir ambos os lados por y para obter:
(1+x^{3})\,d y = x^{2} y\,d x.
Rearranjando para separar variáveis:
\frac{d y}{y} = \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,d x.
Portanto a equação é separável e pronta para integração.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. À esquerda temos a integral de \dfrac{d y}{y}, que é a primitiv a conhecida do logaritmo. À direita aparece uma razão em x que pode ser integrada por substituição. Escrevo as integrais:
\int \frac{d y}{y} = \int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,d x.
Cálculo da integral à esquerda:
\int \frac{d y}{y} = \ln\!\bigl|y\bigr| + C_{1}.
Cálculo da integral à direita: uso a substituição u = 1+x^{3}. Então d u = 3x^{2}\,d x, ou seja x^{2}\,d x = \dfrac{d u}{3}. Assim
\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,d x = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{d u}{3} = \frac{1}{3}\ln\!\bigl|u\bigr| + C_{2} = \frac{1}{3}\ln\!\bigl|1+x^{3}\bigr| + C_{2}.
Juntando ambos os lados (absorvendo constantes em uma só constante C):
\ln\!\bigl|y\bigr| = \frac{1}{3}\ln\!\bigl|1+x^{3}\bigr| + C.

Passo 4

Passo agora a equação logarítmica para a forma explícita em y. Exponencio ambos os lados:
\bigl|y\bigr| = e^{C}\,\bigl|1+x^{3}\bigr|^{1/3}.
Chamo K=e^{C}>0. Assim
\bigl|y\bigr| = K\,\bigl|1+x^{3}\bigr|^{1/3}.
Podemos incorporar o sinal em K e permitir K ser qualquer constante real C\in\mathbb{R}. Como a raiz cúbica é ímpar, a expressão (1+x^{3})^{1/3} está bem definida no conjunto dos números reais (incluindo valores negativos de 1+x^{3}). Portanto a solução geral pode ser escrita de forma mais simples como
y = C\,(1+x^{3})^{1/3},
onde C é uma constante real arbitrária. Outra forma equivalente, eliminando a raiz, é elevar ambos os lados ao cubo:
y^{3} = C^{3}\,(1+x^{3}),
que também descreve a família de soluções (com C^{3} sendo uma constante arbitrária real).

Passo 5

Verificação rápida e observações:
  • A escolha C=0 y\equiv 0, a solução trivial já mencionada.
  • Em toda manipulação usamos divisões por y apenas quando assumimos y\neq 0; como a solução geral com constante livre inclui o caso y=0, nenhuma solução foi perdida.
  • A substituição usada na integração é padrão: quando aparece \dfrac{x^{2}}{1+x^{3}} reconhece-se x^{3} no denominador e sua derivada 3x^{2} no numerador, o que torna a integral imediata.

Resposta

y = C\,(1+x^{3})^{1/3},\quad C\in\mathbb{R}

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