Uma barra de metal de massa m, resistência R e comprimento l pode deslizar livremente na direção vertical mantendo contato elétrico com trilhos condutores verticais de acordo com desenho Fig.2. Os trilhos estão conectados a uma bateria com diferença potencial V nas terminais. A barra fecha o circuito. Asumimos que o material de trilhos tem resistência elétrica desprezável. O sistema encontra-se no campo magnêtico uniforme perpendicular ao plano formado por trilhos e a barra. Considere que no tempo inicial a barra esta em repouso. Encontre a velocidade de barra v(t) e a intensidade da corrente I(t) que flui no circuito. Quais são os valores assintóticos destas quantidades para tempos grandes? Encontra a posição da barra s(t) em função de tempo tomando s(0)=0.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pedidos: encontrar a velocidade da barra v(t), a corrente no circuito I(t), os valores assintóticos (para t\to\infty) de v e I, e a posição s(t) com s(0)=0.
  • Dados (tomados do enunciado / figura):
    • massa da barra: m;
    • resistência da barra (do circuito fechado pela barra): R (os trilhos têm resistência desprezível);
    • comprimento efetivo entre trilhos ocupado pela barra: l;
    • bateria com tensão fixa: V;
    • campo magnético uniforme e perpendicular ao plano da barra e dos trilhos: \mathbf{B} (tomamos o módulo B);
    • aceleração da gravidade: g;
    • condição inicial: a barra está em repouso no instante t=0, isto é v(0)=0; posição inicial s(0)=0.
  • Convenção útil que vou usar para todo o desenvolvimento:
    • tomo s(t) como a coordenada vertical medida positivamente para baixo e v(t)=\dot s(t) (ou seja, v>0 significa a barra descendo).

Passo 2

Campo magnético, fluxo magnético e a fem motora (motional emf). explicação física e sinal.
  • A área do circuito formado pelos trilhos e pela barra é A(t)=l\,s(t) (peguei isto da geometria da figura: base horizontal l e altura s). O fluxo magnético através do laço é
\Phi(t)=B\,A(t)=B\,l\,s(t).
  • Pela Lei de Faraday a força eletromotriz induzida (a “fem” motora) devido ao movimento vale
\mathcal{E}_{\rm ind}=-\frac{d\Phi}{dt}=-B\,l\,\frac{ds}{dt}=-B\,l\,v(t).
  • Interpretação de sinais (resumo didático): se s aumenta (barra desce, v>0), o fluxo aumenta; a corrente induzida tenta opor essa variação (Lei de Lenz), produzindo uma fem que age no circuito de modo a gerar uma força magnética que se opõe ao movimento. Vou escolher a orientação do sinal da corrente positiva de forma que a força magnética resultante seja para cima (isto é, ela opõe a descida). Com essa escolha a corrente total no circuito — combinando a tensão fixa V da bateria e a fem induzida — é dada por (Kirchhoff)
V + \mathcal{E}_{\rm ind} - I R = 0,
ou seja, substituindo \mathcal{E}_{\rm ind},
V - B l\,v(t) - I(t) R = 0.
Reorganizando,
I(t)=\frac{V - B l\,v(t)}{R}.
(Verificação rápida: para v=0 recuperamos I(0)=V/R, a corrente imposta pela bateria; para v>0 a fem induzida reduz a corrente imposta pela bateria — o sinal depende da orientação assumida; este é um arranjo consistente e levará a uma equação linear para v.)

Passo 3

Força magnética sobre a barra e equação de movimento (Newton). justificando fórmulas passo a passo.
  • Quando a barra conduz corrente I e está num campo B perpendicular ao comprimento l, a força magnética de módulo
F_B = B\,l\,I
age sobre a barra (é a força de Laplace / Lorentz para um condutor de comprimento l perpendicular a \mathbf{B}). Pela escolha de sinais acima essa força aponta para cima (opõe a descida).
  • Aplicando a 2ª lei de Newton (força resultante positiva para baixo):
m\,\frac{dv}{dt} = \text{(força para baixo)} - \text{(força para cima)} = m g - F_B.çç
  • Substituindo F_B e a expressão de I(t) do passo anterior:
m\,\frac{dv}{dt} = m g - B l \,I(t) = m g - B l\left(\frac{V - B l\,v(t)}{R}\right).
  • Desenvolvendo os termos:
m\,\frac{dv}{dt} = m g - \frac{B l V}{R} + \frac{B^2 l^2}{R}\,v(t).
  • Colocando os termos em forma padrão (para ver o tipo de ODE que temos) podemos escrever
m\,\frac{dv}{dt} - \frac{B^2 l^2}{R}\,v(t) = m g - \frac{B l V}{R}.
Observação: dependendo da convenção de sinal da fem induzida (e da direção positiva escolhida), a equação pode aparecer com sinais trocados. O importante é a consistência: pela convenção que adotamos, a equação acima é a que descreve o movimento.

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial linear de 1ª ordem para v(t). achar a constante de tempo e solução explícita.
  • A equação do passo anterior é da forma linear
m\,\frac{dv}{dt} + \underbrace{\Big(-\frac{B^2 l^2}{R}\Big)}_{(\ast)} v(t) = m g - \frac{B l V}{R}.
Para ficar com o coeficiente de v positivo no lado esquerdo introduzo a constante
\gamma=\frac{B^2 l^2}{R},
e reescrevo a equação (multiplicando por -1 convenientemente) numa forma de amortecimento habitual:
m\,\frac{dv}{dt} + \gamma\,v(t) = m g - \frac{B l V}{R}.
  • Defino a constante de tempo (característica do decaimento/exponencial)
\tau=\frac{m}{\gamma}=\frac{m R}{B^2 l^2}.
  • A solução particular de regime permanente (velocidade assintótica v(\infty)) é
v_{\infty}=\frac{1}{\gamma}\left(m g - \frac{B l V}{R}\right).
Substituindo \gamma obtemos uma forma útil:
v_{\infty}=\frac{m g R - B l V}{B^2 l^2}.
  • A solução completa da ODE com condição inicial v(0)=0 é
v(t)=v_{\infty}\Big(1-e^{-t/\tau}\Big).
  • Agora a corrente I(t) vem da relação do passo 2:
I(t)=\frac{V - B l\,v(t)}{R}.
Substituindo v(t) e simplificando (fazer os passos algébricos):
começamos por calcular B l v(t) = B l v_{\infty}\big(1-e^{-t/\tau}\big). Note que
B l v_{\infty}=\frac{B l\,(m g R - B l V)}{B^2 l^2}=\frac{m g R}{B l}-V.
Logo
V - B l v(t)=V -\Big(\frac{m g R}{B l}-V\Big)\big(1-e^{-t/\tau}\big) = V e^{-t/\tau} + \frac{m g R}{B l}\big(1-e^{-t/\tau}\big).
Dividindo por R,
I(t)=\frac{V}{R}e^{-t/\tau} + \frac{m g}{B l}\big(1-e^{-t/\tau}\big).
Esta forma mostra claramente I(0)=V/R e I(\infty)=m g/(B l).
  • Para a posição s(t) integramos v(t) com s(0)=0:
s(t)=\int_0^t v(u)\,du = v_{\infty}\int_0^t\big(1-e^{-u/\tau}\big)du = v_{\infty}\Big(t + \tau e^{-t/\tau} - \tau\Big).
(Verifique a constante de integração com s(0)=0: para t=0 o colchete vale 0.)

Passo 5

Interpretação física dos resultados e valores assintóticos.
  • Constante de tempo:
\tau=\frac{m R}{B^2 l^2}.
Essa constante dá a escala de tempo na qual v(t) e I(t) alcançam o regime estacionário.
  • Velocidade assintótica:
v(\infty)=v_{\infty}=\frac{m g R - B l V}{B^2 l^2}.
Observação Física: se m g R > B l V então v_{\infty}>0 e a barra desce com velocidade terminal positiva; se m g R < B l V então v_{\infty}<0 e a barra tenderá a subir (dependendo da orientação da bateria e campo) — o sinal final depende dos parâmetros; isto corresponde ao fato de que a força magnética no estado estacionário é B l I(\infty)=m g.
  • Corrente assintótica:
I(\infty)=\frac{m g}{B l},
obtida impondo equilíbrio de forças m g=B l I no regime estacionário.
  • Posição para todo o tempo:
s(t)=v_{\infty}\Big(t + \tau e^{-t/\tau} - \tau\Big).

Resposta

v(t)=\frac{m g R - B l V}{B^2 l^2}\Big(1-e^{-t/(\,mR/(B^2 l^2)\,)}\Big)
I(t)=\frac{V}{R}e^{-t/(\,mR/(B^2 l^2)\,)}+\frac{m g}{B l}\Big(1-e^{-t/(\,mR/(B^2 l^2)\,)}\Big)
s(t)=\frac{m g R - B l V}{B^2 l^2}\Big(t+\frac{m R}{B^2 l^2}e^{-t/(\,mR/(B^2 l^2)\,)}-\frac{m R}{B^2 l^2}\Big)
v(\infty)=\frac{m g R - B l V}{B^2 l^2},\qquad I(\infty)=\frac{m g}{B l}

Exercícios relacionados