Questão 3. Você foi curtir um dia na praia com os amigos. Para refrescar, vocês levaram algumas bebidas geladas em uma caixa cúbica de isopor com uma mistura de água e gelo. A temperatura ambiente no dia era de
. Sabendo que as bebidas estavam inicialmente em equilibrio térmico com a mistura de água e gelo e que a mistura continha, inicialmente,
de gelo, calcule o tempo máximo que a sua caixa de isopor conseguirá manter as bebidas na mesma temperatura. Suponha que não ocorra troca de calor no fundo da caixa de isopor, que possui
de espessura e 60 cm de lado. Dados:
Passo 1
O enunciado pede o tempo máximo que a caixa de isopor manterá as bebidas na mesma temperatura. Informações dadas e relevantes:
- Temperatura ambiente:
. - As bebidas e a mistura água+gelo estavam inicialmente em equilíbrio térmico (logo a mistura está a
enquanto houver gelo). - Massa inicial de gelo:
. - Não ocorre troca de calor pelo fundo da caixa.
- A caixa é cúbica com lado
e espessura das paredes . - Condutividade térmica do isopor:
. - Calor latente de fusão do gelo:
(ou ).
O que devemos encontrar: o tempo máximo até que todo o gelo derreta (enquanto houver gelo, a mistura fica a
e mantém as bebidas nessa temperatura).
Passo 2
Ideia física e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- O calor entra da vizinhança quente (
) para o interior frio ( ) por condução através das paredes de isopor. Enquanto existir gelo, toda a energia que entra é usada para fundir o gelo (sem variar a temperatura), ou seja, para o calor latente de fusão. - A taxa de transferência de calor por condução estacionária através de uma parede plana é dada pela Lei de Fourier:
onde:
-
é a potência térmica (fluxo de calor) em (joule por segundo), -
é a condutividade térmica da parede em , -
é a área pela qual o calor entra em , -
é a diferença de temperatura entre fora e dentro em K (ou °C), -
é a espessura da parede em . -
Energia necessária para fundir uma massa
de gelo:
onde
é o calor latente (J/kg).
- Tempo necessário para fornecer essa energia à razão
:
Observação didática: a diferença de temperatura em Kelvin é numericamente igual à diferença em graus Celsius, então podemos usar
sem conversão extra. Também estamos fazendo a aproximação de regime estacionário (potência constante), o que é razoável como estimativa para o tempo máximo pedido.
Passo 3
Converter e calcular as grandezas geométricas:
- Lado da caixa:
. - Espessura das paredes:
. - Área de uma face:
.
Como o enunciado diz explicitamente que não há troca de calor no fundo, assumimos que as demais faces conduzem calor (topo + 4 faces laterais), totalizando 5 faces ativas. Logo a área total por onde o calor entra é:
Passo 4
Diferença de temperatura entre ambiente e mistura:
Passo 5
Calcular a potência de calor que entra na caixa usando a Lei de Fourier. Primeiro calcule
:
Agora:
Calcule passo a passo:
Portanto, a potência entrando na caixa é aproximadamente
(ou
).
Passo 6
Energia necessária para fundir
de gelo:
(Usamos
.)
Passo 7
Tempo necessário para fundir todo o gelo:
Converter para minutos:
Em horas:
Em minutos e segundos:
(aproximadamente).
Passo 8
Interpretação e comentários sobre aproximações (úteis para a prova):
- Concluímos que o tempo máximo é aproximadamente
. Esse é o tempo até todo o gelo derreter, pois enquanto existir gelo a temperatura da mistura fica em e as bebidas permanecem nessa temperatura. - Aproximações feitas: consideramos regime estacionário (potência constante), desprezamos trocas de calor por juntas, tampa imperfeita, radiação e convecção internas/externas adicionais, capacidade térmica do líquido e do isopor (que poderiam atrasar/adiantar a transferência). Essas simplificações são comuns em exercícios de prova e dão uma boa estimativa do tempo máximo.