Questão 3. Você foi curtir um dia na praia com os amigos. Para refrescar, vocês levaram algumas bebidas geladas em uma caixa cúbica de isopor com uma mistura de água e gelo. A temperatura ambiente no dia era de 37^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que as bebidas estavam inicialmente em equilibrio térmico com a mistura de água e gelo e que a mistura continha, inicialmente, 1,0 \mathrm{~kg} de gelo, calcule o tempo máximo que a sua caixa de isopor conseguirá manter as bebidas na mesma temperatura. Suponha que não ocorra troca de calor no fundo da caixa de isopor, que possui 2,5 \mathrm{~cm} de espessura e 60 cm de lado. Dados: \mathrm{K}_{\text {isopor }}=0,035 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \mathrm{L}_{\text {ceno }}=333 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}

Passo 1

O enunciado pede o tempo máximo que a caixa de isopor manterá as bebidas na mesma temperatura. Informações dadas e relevantes:
  • Temperatura ambiente: \,37^\circ\mathrm{C}.
  • As bebidas e a mistura água+gelo estavam inicialmente em equilíbrio térmico (logo a mistura está a 0^\circ\mathrm{C} enquanto houver gelo).
  • Massa inicial de gelo: \,1,0\\ \mathrm{kg}.
  • Não ocorre troca de calor pelo fundo da caixa.
  • A caixa é cúbica com lado \,60\\ \mathrm{cm} e espessura das paredes \,2,5\\ \mathrm{cm}.
  • Condutividade térmica do isopor: \,k_{\text{isopor}}=0,035\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • Calor latente de fusão do gelo: \,L=333\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg} (ou \,333000\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}).
O que devemos encontrar: o tempo máximo até que todo o gelo derreta (enquanto houver gelo, a mistura fica a 0^\circ\mathrm{C} e mantém as bebidas nessa temperatura).

Passo 2

Ideia física e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • O calor entra da vizinhança quente ( 37^\circ\mathrm{C}) para o interior frio ( 0^\circ\mathrm{C}) por condução através das paredes de isopor. Enquanto existir gelo, toda a energia que entra é usada para fundir o gelo (sem variar a temperatura), ou seja, para o calor latente de fusão.
  • A taxa de transferência de calor por condução estacionária através de uma parede plana é dada pela Lei de Fourier:
\dot{Q}=\frac{k\,A\,\Delta T}{d},
onde:
  • \dot{Q} é a potência térmica (fluxo de calor) em \mathrm{W} (joule por segundo),
  • k é a condutividade térmica da parede em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}),
  • A é a área pela qual o calor entra em \mathrm{m}^2,
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre fora e dentro em K (ou °C),
  • d é a espessura da parede em \mathrm{m}.
  • Energia necessária para fundir uma massa m de gelo:
Q_{\text{fus}}=m\,L,
onde L é o calor latente (J/kg).
  • Tempo necessário para fornecer essa energia à razão \dot{Q}:
t=\frac{Q_{\text{fus}}}{\dot{Q}}.
Observação didática: a diferença de temperatura em Kelvin é numericamente igual à diferença em graus Celsius, então podemos usar \Delta T=37-0=37 sem conversão extra. Também estamos fazendo a aproximação de regime estacionário (potência constante), o que é razoável como estimativa para o tempo máximo pedido.

Passo 3

Converter e calcular as grandezas geométricas:
  • Lado da caixa: \,l=60\\ \mathrm{cm}=0,60\\ \mathrm{m}.
  • Espessura das paredes: \,d=2{,}5\\ \mathrm{cm}=0,025\\ \mathrm{m}.
  • Área de uma face: \,l^2=(0{,}60)^2=0{,}36\\ \mathrm{m}^2.
Como o enunciado diz explicitamente que não há troca de calor no fundo, assumimos que as demais faces conduzem calor (topo + 4 faces laterais), totalizando 5 faces ativas. Logo a área total por onde o calor entra é:
A = 5 \times 0{,}36 = 1{,}80\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Diferença de temperatura entre ambiente e mistura:
\Delta T = 37^\circ\mathrm{C} - 0^\circ\mathrm{C} = 37\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a potência de calor que entra na caixa usando a Lei de Fourier. Primeiro calcule k/d:
\frac{k}{d}=\frac{0{,}035}{0{,}025}=1{,}4\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
Agora:
\dot{Q}=\frac{k\,A\,\Delta T}{d} = 1{,}4 \times 1{,}80 \times 37.
Calcule passo a passo:
1{,}4\times 1{,}80 = 2{,}52\\ \mathrm{W}/\mathrm{K},
\dot{Q}=2{,}52\times 37 = 93{,}24\\ \mathrm{W}.
Portanto, a potência entrando na caixa é aproximadamente \,93{,}24\\ \mathrm{W} (ou 93{,}24\\ \mathrm{J/s}).

Passo 6

Energia necessária para fundir \,1{,}0\\ \mathrm{kg} de gelo:
Q_{\text{fus}} = m\,L = 1{,}0 \times 333000 = 333000\\ \mathrm{J}.
(Usamos L=333\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}=333000\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}.)

Passo 7

Tempo necessário para fundir todo o gelo:
t=\frac{Q_{\text{fus}}}{\dot{Q}} = \frac{333000}{93{,}24} \approx 3572{,}8\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos:
\frac{3572{,}8}{60} \approx 59{,}55\\ \mathrm{min}.
Em horas:
\frac{59{,}55}{60} \approx 0{,}99\\ \mathrm{h}.
Em minutos e segundos: 59\\ \mathrm{min}\\\ 33\\ \mathrm{s} (aproximadamente).

Passo 8

Interpretação e comentários sobre aproximações (úteis para a prova):
  • Concluímos que o tempo máximo é aproximadamente 59{,}5\\ \mathrm{min}. Esse é o tempo até todo o gelo derreter, pois enquanto existir gelo a temperatura da mistura fica em 0^\circ\mathrm{C} e as bebidas permanecem nessa temperatura.
  • Aproximações feitas: consideramos regime estacionário (potência constante), desprezamos trocas de calor por juntas, tampa imperfeita, radiação e convecção internas/externas adicionais, capacidade térmica do líquido e do isopor (que poderiam atrasar/adiantar a transferência). Essas simplificações são comuns em exercícios de prova e dão uma boa estimativa do tempo máximo.

Resposta

t \approx 3{,}57\times 10^{3}\\ \mathrm{s} \approx 59{,}6\\ \mathrm{min} \approx 0{,}99\\ \mathrm{h}

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