Questão 6. Você foi instruido a construir uma máquina com a maior eficiência possivel que fosse capaz de absorver calor de uma fonte de água fervente e rejeitar calor que seria utilizado para derreter gelo, armazenado em um tanque com uma mistura de gelo e água.
a) Antes de montar a máquina, determine o seu rendimento, lembrando que é o maior rendimento possivel nessas condições.
b) As especificações da máquina incluem que o calor rejeitado para a fonte fria deva no máximo derreter 0,40 \mathrm{~kg} de gelo em 5 minutos de funcionamento. Dessa forma, quanto de calor a máquina deve rejeitar para o reservatório frio por segundo? (Dados: Calor latente do gelo, \mathrm{L}=334 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} )
c) Quanto de calor é absorvido pela fonte quente por segundo?
d) Quanto trabalho é realizado pela máquina por segundo?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas relacionadas a uma máquina que absorve calor de água fervente e rejeita calor para derreter gelo em um tanque: (a) determinar o maior rendimento possível da máquina; (b) dado que, no máximo, \,0,40\\ \mathrm{kg}\, de gelo deve ser derretido em 5 minutos, calcular quanto de calor a máquina deve rejeitar para o reservatório frio por segundo; (c) calcular quanto de calor é absorvido da fonte quente por segundo; (d) calcular quanto trabalho é realizado pela máquina por segundo.
Informações dadas:
  • A fonte quente é água fervente (temperatura de ebulição da água): \,100^\circ\mathrm{C}\,.
  • O reservatório frio é uma mistura de gelo e água à temperatura de fusão do gelo: \,0^\circ\mathrm{C}\,.
  • Massa de gelo que pode ser derretida em 5 minutos: \,0,40\\ \mathrm{kg}\,.
  • Calor latente de fusão do gelo: \,L=334\\ \mathrm{kJ/kg}\,.
  • Tempo para derreter essa massa: 5 minutos =300\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entender o rendimento máximo possível: aqui precisamos do rendimento termodinâmico máximo entre duas fontes de temperatura fixa. Vou explicar o princípio que usamos.
A máquina ideal que dá o maior rendimento entre duas fontes térmicas reversíveis é a máquina de Carnot. O rendimento de uma máquina térmica é definido como
\eta=\frac{W}{Q_h},
onde W é o trabalho realizado pela máquina e Q_h é o calor absorvido da fonte quente. Para uma máquina de Carnot operando entre uma fonte quente à temperatura \,T_h\, e uma fonte fria à temperatura \,T_c\, (ambas em Kelvin), o rendimento máximo é dado por
\eta_{\text{máx}}=1-\frac{T_c}{T_h}.á
Explicação do que representam as variáveis:
  • T_h é a temperatura absoluta (Kelvin) da fonte quente.
  • T_c é a temperatura absoluta (Kelvin) da fonte fria.
  • Essa fórmula vem da análise reversível onde a razão Q_c/Q_h = T_c/T_h (proporção entre calores trocados) e usando W=Q_h-Q_c obtemos \eta = 1 - Q_c/Q_h = 1 - T_c/T_h.
Antes de aplicar, devemos converter as temperaturas dadas em Celsius para Kelvin.

Passo 3

Converter temperaturas para Kelvin e calcular o rendimento máximo.
Temperaturas:
T_h = 100^\circ\mathrm{C} = 100 + 273{,}15 = 373{,}15\\ \mathrm{K},
T_c = 0^\circ\mathrm{C} = 0 + 273{,}15 = 273{,}15\\ \mathrm{K}.
Aplicando a fórmula de Carnot:
\eta_{\text{máx}} = 1 - \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{273{,}15}{373{,}15}.á
Calculemos a razão:
\frac{273{,}15}{373{,}15}\approx 0{,}7324.
Portanto
\eta_{\text{máx}} \approx 1 - 0{,}7324 = 0{,}2676.á
Em porcentagem, isto é aproximadamente 26{,}76\%. Vou arredondar de forma compatível com os dados para 26{,}8\%.

Passo 4

Calcular o calor rejeitado para o reservatório frio por segundo, a partir da especificação de derreter gelo.
Energia necessária para derreter uma massa m de gelo é
Q_{\text{total}} = m L,
onde L é o calor latente de fusão (energia por unidade de massa). Converter L para \mathrm{J/kg}:
L = 334\\ \mathrm{kJ/kg} = 334000\\ \mathrm{J/kg}.
Para m = 0{,}40\\ \mathrm{kg}, a energia total requerida para derreter essa massa é
Q_{\text{total}} = 0{,}40\\ \mathrm{kg} \times 334000\\ \mathrm{J/kg} = 133600\\ \mathrm{J}.
Esse é o calor rejeitado para o reservatório frio no período de 5 minutos ( 300\\ \mathrm{s}). Logo, a taxa de rejeição de calor (por segundo) é
\dot{Q}_c = \frac{Q_{\text{total}}}{300\\ \mathrm{s}} = \frac{133600\\ \mathrm{J}}{300\\ \mathrm{s}} = 445{,}333\ldots\\ \mathrm{J/s}.
Arredondando de forma razoável:
\dot{Q}_c \approx 445{,}3\\ \mathrm{W}.
Observação: joule por segundo é watt, então é correto interpretar como potência rejeitada.

Passo 5

Relacionar os calores e usar o rendimento para achar o calor absorvido por segundo.
Para qualquer máquina térmica, valem as relações:
W = Q_h - Q_c,
\eta = \frac{W}{Q_h} = 1 - \frac{Q_c}{Q_h}.
Para a máquina ideal (Carnot), já temos \eta_{\text{máx}}á e portanto
\frac{Q_c}{Q_h} = 1 - \eta_{\text{máx}} = \frac{T_c}{T_h}.á
Assim podemos obter Q_h a partir de Q_c:
Q_h = \frac{Q_c}{1-\eta_{\text{máx}}}.á
Já calculamos \dot{Q}_c e \eta_{\text{máx}}á. Calculemos a taxa de calor absorvida da fonte quente por segundo \dot{Q}_h:
1-\eta_{\text{máx}} = 1 - 0{,}2676 = 0{,}7324.á
\dot{Q}_h = \frac{\dot{Q}_c}{1-\eta_{\text{máx}}} = \frac{445{,}333\ldots\\ \mathrm{J/s}}{0{,}7324}\approx 607{,}9\\ \mathrm{J/s}.á
Arredondando:
\dot{Q}_h \approx 607{,}9\\ \mathrm{W}.
Alternativa (cheque): também poderíamos usar diretamente a razão Q_c/Q_h = T_c/T_h \approx 0{,}7324 e obter o mesmo resultado.

Passo 6

Calcular o trabalho realizado pela máquina por segundo (potência útil).
A potência entregue (trabalho por segundo) é
\dot{W} = \dot{Q}_h - \dot{Q}_c.
Usando os valores numéricos:
\dot{W} = 607{,}9\\ \mathrm{J/s} - 445{,}3\\ \mathrm{J/s} = 162{,}6\\ \mathrm{J/s}.
Também podemos obter \dot{W} usando \dot{W}=\eta_{\text{máx}}\dot{Q}_há:
\dot{W}=0{,}2676\times 607{,}9\\ \mathrm{J/s}\approx 162{,}6\\ \mathrm{J/s},
confirmando o resultado. Arredondando, \dot{W}\approx 162{,}6\\ \mathrm{W}.

Resposta

(a) \eta_{\text{máx}}\approx 0{,}2676á (ou 26{,}8\%).
(b) \dot{Q}_c\approx 445{,}3\\ \mathrm{J/s}.
(c) \dot{Q}_h\approx 607{,}9\\ \mathrm{J/s}.
(d) \dot{W}\approx 162{,}6\\ \mathrm{J/s}.

Exercícios relacionados