Questão 6. Você foi instruido a construir uma máquina com a maior eficiência possivel que fosse capaz de absorver calor de uma fonte de água fervente e rejeitar calor que seria utilizado para derreter gelo, armazenado em um tanque com uma mistura de gelo e água.
a) Antes de montar a máquina, determine o seu rendimento, lembrando que é o maior rendimento possivel nessas condições.
b) As especificações da máquina incluem que o calor rejeitado para a fonte fria deva no máximo derreter
de gelo em 5 minutos de funcionamento. Dessa forma, quanto de calor a máquina deve rejeitar para o reservatório frio por segundo? (Dados: Calor latente do gelo,
)
c) Quanto de calor é absorvido pela fonte quente por segundo?
d) Quanto trabalho é realizado pela máquina por segundo?
a) Antes de montar a máquina, determine o seu rendimento, lembrando que é o maior rendimento possivel nessas condições.
b) As especificações da máquina incluem que o calor rejeitado para a fonte fria deva no máximo derreter
c) Quanto de calor é absorvido pela fonte quente por segundo?
d) Quanto trabalho é realizado pela máquina por segundo?
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas relacionadas a uma máquina que absorve calor de água fervente e rejeita calor para derreter gelo em um tanque: (a) determinar o maior rendimento possível da máquina; (b) dado que, no máximo,
de gelo deve ser derretido em
minutos, calcular quanto de calor a máquina deve rejeitar para o reservatório frio por segundo; (c) calcular quanto de calor é absorvido da fonte quente por segundo; (d) calcular quanto trabalho é realizado pela máquina por segundo.
Informações dadas:
- A fonte quente é água fervente (temperatura de ebulição da água):
. - O reservatório frio é uma mistura de gelo e água à temperatura de fusão do gelo:
. - Massa de gelo que pode ser derretida em
minutos: . - Calor latente de fusão do gelo:
. - Tempo para derreter essa massa:
minutos .
Passo 2
Entender o rendimento máximo possível: aqui precisamos do rendimento termodinâmico máximo entre duas fontes de temperatura fixa. Vou explicar o princípio que usamos.
A máquina ideal que dá o maior rendimento entre duas fontes térmicas reversíveis é a máquina de Carnot. O rendimento de uma máquina térmica é definido como
onde
é o trabalho realizado pela máquina e
é o calor absorvido da fonte quente. Para uma máquina de Carnot operando entre uma fonte quente à temperatura
e uma fonte fria à temperatura
(ambas em Kelvin), o rendimento máximo é dado por
Explicação do que representam as variáveis:
-
é a temperatura absoluta (Kelvin) da fonte quente. -
é a temperatura absoluta (Kelvin) da fonte fria. - Essa fórmula vem da análise reversível onde a razão
(proporção entre calores trocados) e usando obtemos .
Antes de aplicar, devemos converter as temperaturas dadas em Celsius para Kelvin.
Passo 3
Converter temperaturas para Kelvin e calcular o rendimento máximo.
Temperaturas:
Aplicando a fórmula de Carnot:
Calculemos a razão:
Portanto
Em porcentagem, isto é aproximadamente
. Vou arredondar de forma compatível com os dados para
.
Passo 4
Calcular o calor rejeitado para o reservatório frio por segundo, a partir da especificação de derreter gelo.
Energia necessária para derreter uma massa
de gelo é
onde
é o calor latente de fusão (energia por unidade de massa). Converter
para
:
Para
, a energia total requerida para derreter essa massa é
Esse é o calor rejeitado para o reservatório frio no período de
minutos (
). Logo, a taxa de rejeição de calor (por segundo) é
Arredondando de forma razoável:
Observação: joule por segundo é watt, então é correto interpretar como potência rejeitada.
Passo 5
Relacionar os calores e usar o rendimento para achar o calor absorvido por segundo.
Para qualquer máquina térmica, valem as relações:
Para a máquina ideal (Carnot), já temos
e portanto
Assim podemos obter
a partir de
:
Já calculamos
e
. Calculemos a taxa de calor absorvida da fonte quente por segundo
:
Arredondando:
Alternativa (cheque): também poderíamos usar diretamente a razão
e obter o mesmo resultado.
Passo 6
Calcular o trabalho realizado pela máquina por segundo (potência útil).
A potência entregue (trabalho por segundo) é
Usando os valores numéricos:
Também podemos obter
usando
:
confirmando o resultado. Arredondando,
.
Resposta
(a)
(ou
).
(b) .
(c) .
(d) .
(b)
(c)
(d)