(9 pts.) Em cada caso, escreva a função f(z) no formato indicado
f(z)=z^{3}+z+1, na forma f(z)=u(x, y)+i v(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a função f(z)=z^{3}+z+1 e pede que ela seja escrita na forma f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y). As informações relevantes são:
  • A função complexa é f(z)=z^{3}+z+1.
  • Deve-se apresentar as partes real e imaginária em termos de x e y, onde z será escrito como z=x+ i y com x,y\in\mathbb{R}.
  • O objetivo final: encontrar u(x,y) (a parte real) e v(x,y) (a parte imaginária).

Passo 2

Primeiro substituímos z=x+i y na expressão z^{3}. Usamos a identidade do cubo de uma soma:
(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.
Aqui a=x e b=i y. Portanto
z^{3}=(x+i y)^{3}=x^{3}+3x^{2}(i y)+3x(i y)^{2}+(i y)^{3}.

Passo 3

Agora simplificamos as potências de i. Lembrando que i^{2}=-1 e i^{3}=-i, temos:
(i y)^{2}=i^{2}y^{2}=-y^{2}, \qquad (i y)^{3}=i^{3}y^{3}=-i\,y^{3}.
Substituindo na expressão de z^{3}:
z^{3}=x^{3}+3x^{2}(i y)+3x(-y^{2})+(-i\,y^{3}).

Passo 4

Agrupando as partes reais e imaginárias da expressão acima:
z^{3}=(x^{3}-3x y^{2}) + i\,(3x^{2}y - y^{3}).
Aqui foi feita a identificação: termos sem i formam a parte real e os que têm fator i formam a parte imaginária.

Passo 5

Agora calculamos f(z)=z^{3}+z+1. Escrevendo z=x+i y e somando às partes já obtidas:
z^{3}+z+1 = \bigl(x^{3}-3x y^{2}\bigr) + i\bigl(3x^{2}y - y^{3}\bigr) \;+\; (x + i y) \;+\; 1.
Somando as partes reais entre si e as imaginárias entre si:
  • parte real: x^{3}-3x y^{2}+x+1,
  • parte imaginária (coeficiente de i): 3x^{2}y - y^{3}+y.

Passo 6

Portanto a função escrita na forma pedida é
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)
com u e v explicitamente dados no próximo passo.

Resposta

u(x,y)=x^{3}-3x y^{2}+x+1
v(x,y)=3x^{2}y - y^{3}+y

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