Verifique que y=\operatorname{tg}(x+c) é uma família de soluções da equação diferencial y^{\prime}=1+y^{2}.

Passo 1

O enunciado fornece a família de funções y dada por y=\operatorname{tg}(x+c), onde c é uma constante arbitrária, e pede para verificar que essa família satisfaz a equação diferencial
y' = 1 + y^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função proposta é y(x)=\operatorname{tg}(x+c).
  • A constante c é parâmetro (logo \dfrac{d}{dx}c=0).
  • A verificação consiste em calcular y' e comparar com 1+y^{2}.
    A resolução começa a seguir, fazendo as contas passo a passo.

Passo 2

Lembrete das ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho).
  • Derivada da função tangente: a derivada de \operatorname{tg}(u) em relação a u é \operatorname{sec}^{2}u. Aqui \operatorname{sec} u significa \dfrac{1}{\cos u}.
    • Explicando por que: da identidade trigonométrica básica \sin^{2}u+\cos^{2}u=1, dividindo por \cos^{2}u obtemos \tan^{2}u + 1 = \operatorname{sec}^{2}u,e também é conhecido (ou pode ser derivado) que \dfrac{d}{du}\tan u=\operatorname{sec}^{2}u.
  • Regra da cadeia: se y(x)=f(u(x)), então \frac{dy}{dx}=f'(u(x))\cdot u'(x).Ou seja, deriva-se a função externa em u e multiplica-se pela derivada da função interna u(x).
  • Derivada de uma soma em que um termo é constante: se u(x)=x+c com c constante, então u'(x)=1 porque \dfrac{d}{dx}x=1 e \dfrac{d}{dx}c=0.

Passo 3

Aplicando as ferramentas à nossa função. Defina a função interna
u(x)=x+c.
Então y(x)=\operatorname{tg}(u(x)). Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{tg}u\bigr)\cdot u'(x).
Pela observação anterior, u'(x)=1. E sabemos que \dfrac{d}{du}\operatorname{tg}u=\operatorname{sec}^{2}u. Portanto substituindo:
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^{2}u\cdot 1=\operatorname{sec}^{2}u.

Passo 4

Agora volte à variável original x, lembrando que u=x+c. Assim
y'=\operatorname{sec}^{2}(x+c).
Use a identidade trigonométrica que ligue \operatorname{sec}^{2} e \operatorname{tg}^{2}:
\operatorname{sec}^{2}(x+c)=1+\operatorname{tg}^{2}(x+c).
Como y(x)=\operatorname{tg}(x+c), temos \operatorname{tg}^{2}(x+c)=y^{2}. Logo
y' = 1 + y^{2}.

Passo 5

Conclusão da verificação: a derivada calculada de y=\operatorname{tg}(x+c) é exatamente 1+y^{2}, portanto cada função da família satisfaz a equação diferencial dada, em todos os pontos onde \operatorname{tg}(x+c) está definida (ou seja, onde \cos(x+c)\neq 0).

Passo 6

Comentário útil para a prova (como obter essa família de soluções): a equação y'=1+y^{2} é separável. Fazendo separação e integrando,
\frac{dy}{1+y^{2}}=dx,
integramos ambos os lados:
\arctan y = x + C,
onde C é constante de integração. Aplicando a tangente aos dois lados:
y=\tan(x+C),
o que coincide com a família dada. Isso mostra também que a família y=\operatorname{tg}(x+c) é a solução geral (local) da equação diferencial.

Resposta

Sim. y' = 1 + y^{2}.

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