Verifique que
é uma família de soluções da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado fornece a família de funções
dada por
, onde
é uma constante arbitrária, e pede para verificar que essa família satisfaz a equação diferencial
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função proposta é
. - A constante
é parâmetro (logo ). - A verificação consiste em calcular
e comparar com .
A resolução começa a seguir, fazendo as contas passo a passo.
Passo 2
Lembrete das ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho).
- Derivada da função tangente: a derivada de
em relação a é . Aqui significa . - Explicando por que: da identidade trigonométrica básica
, dividindo por obtemos e também é conhecido (ou pode ser derivado) que .
- Explicando por que: da identidade trigonométrica básica
- Regra da cadeia: se
, então Ou seja, deriva-se a função externa em e multiplica-se pela derivada da função interna . - Derivada de uma soma em que um termo é constante: se
com constante, então porque e .
Passo 3
Aplicando as ferramentas à nossa função. Defina a função interna
Então
. Pela regra da cadeia,
Pela observação anterior,
. E sabemos que
. Portanto substituindo:
Passo 4
Agora volte à variável original
, lembrando que
. Assim
Use a identidade trigonométrica que ligue
e
:
Como
, temos
. Logo
Passo 5
Conclusão da verificação: a derivada calculada de
é exatamente
, portanto cada função da família satisfaz a equação diferencial dada, em todos os pontos onde
está definida (ou seja, onde
).
Passo 6
Comentário útil para a prova (como obter essa família de soluções): a equação
é separável. Fazendo separação e integrando,
integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Aplicando a tangente aos dois lados:
o que coincide com a família dada. Isso mostra também que a família
é a solução geral (local) da equação diferencial.
Resposta
Sim.
.