(9 pts.) Em cada caso, escreva a função f(z) no formato indicado
f(z)=z+\frac{1}{z}, para z \neq 0, na forma polar f(z)=u(r, \theta)+i v(r, \theta).

Passo 1

O enunciado dá a função f(z)=z+\dfrac{1}{z} com z\neq 0 e pede que a escrevamos em coordenadas polares na forma
f(z)=u(r,\theta)+i\,v(r,\theta).
Informações que temos (todas importantes):
  • z\neq 0.
  • Em coordenadas polares usaremos r>0 para o módulo de z e \theta\in\mathbb{R} para o argumento de z.
  • A tarefa é encontrar explicitamente as funções u(r,\theta) e v(r,\theta).

Passo 2

Primeiro lembramos a representação polar de um complexo: para z\neq 0,
z = r e^{i\theta}.
Explicando devagar: r é o módulo de z, isto é r=|z|, e \theta é o argumento de z (o ângulo que o vetor representa com o eixo real). A fórmula de Euler nos dá
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,
logo podemos escrever, de forma explícita em termos de partes real e imaginária,
z = r(\cos\theta + i\sin\theta).

Passo 3

Agora calculamos o inverso 1/z. Como z=r e^{i\theta}, tem-se
\frac{1}{z}=\frac{1}{r e^{i\theta}}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}.
Usando novamente Euler:
\frac{1}{z}=\frac{1}{r}\big(\cos\theta - i\sin\theta\big).
Aqui expliquei o porquê: inverter o fator e^{i\theta} troca o sinal do expoente, e inverter r 1/r.

Passo 4

Agora somamos z e 1/z. Escrevendo as duas expressões que já temos:
z = r(\cos\theta + i\sin\theta), \qquad \frac{1}{z}=\frac{1}{r}(\cos\theta - i\sin\theta).
Somando membro a membro:
z+\frac{1}{z} = r\cos\theta + i r\sin\theta + \frac{1}{r}\cos\theta - i\frac{1}{r}\sin\theta.

Passo 5

Agora agrupamos a parte real e a parte imaginária. Os termos com \cos\theta são reais, os com \sin\theta são imaginários:
  • Parte real:
u(r,\theta)=r\cos\theta+\frac{1}{r}\cos\theta=\bigg(r+\frac{1}{r}\bigg)\cos\theta.
  • Parte imaginária:
v(r,\theta)=r\sin\theta-\frac{1}{r}\sin\theta=\bigg(r-\frac{1}{r}\bigg)\sin\theta.
Lembrete de domínio: isto vale para r>0 (já que z\neq 0) e qualquer \theta.

Passo 6

Uma checagem rápida numérica (só pra sentir confiança): escolha r=2 e \theta=\pi/4.
u(2,\tfrac{\pi}{4})=\bigg(2+\tfrac{1}{2}\bigg)\cos\!\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{5\sqrt{2}}{4},
v(2,\tfrac{\pi}{4})=\bigg(2-\tfrac{1}{2}\bigg)\sin\!\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{3\sqrt{2}}{4}.
Se calcular z=2e^{i\pi/4} e \dfrac{1}{z} e somar, obtém-se as mesmas partes real e imaginária — ótima checagem rápida.

Resposta

u(r,\theta)=\bigg(r+\dfrac{1}{r}\bigg)\cos\theta
v(r,\theta)=\bigg(r-\dfrac{1}{r}\bigg)\sin\theta

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