(9 pts.) Em cada caso, escreva a função
no formato indicado
, para
, na forma polar
.
Passo 1
O enunciado dá a função
com
e pede que a escrevamos em coordenadas polares na forma
Informações que temos (todas importantes):
-
. - Em coordenadas polares usaremos
para o módulo de e para o argumento de . - A tarefa é encontrar explicitamente as funções
e .
Passo 2
Primeiro lembramos a representação polar de um complexo: para
,
Explicando devagar:
é o módulo de
, isto é
, e
é o argumento de
(o ângulo que o vetor representa com o eixo real). A fórmula de Euler nos dá
logo podemos escrever, de forma explícita em termos de partes real e imaginária,
Passo 3
Agora calculamos o inverso
. Como
, tem-se
Usando novamente Euler:
Aqui expliquei o porquê: inverter o fator
troca o sinal do expoente, e inverter
dá
.
Passo 4
Agora somamos
e
. Escrevendo as duas expressões que já temos:
Somando membro a membro:
Passo 5
Agora agrupamos a parte real e a parte imaginária. Os termos com
são reais, os com
são imaginários:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Lembrete de domínio: isto vale para
(já que
) e qualquer
.
Passo 6
Uma checagem rápida numérica (só pra sentir confiança): escolha
e
.
Se calcular
e
e somar, obtém-se as mesmas partes real e imaginária — ótima checagem rápida.