( 4,0 pts) Em cada item abaixo, utilize um teste adequado para determinar se a série é divergente, absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
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Passo 1
Beleza, temos uma série infinita para analisar:
Vamos usar conhecimentos sobre testes de convergência de séries para descobrir se essa série diverge, é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série:
Observando os termos de maior grau no numerador e no denominador (que são
), podemos dividir cada termo por
para simplificar:
À medida que
cresce, os termos
e
tendem a zero, então:
Passo 3
Se os termos da série
tendem a 1 quando
vai para o infinito, isso significa que:
Um teste importante aqui é o Teste da Divergência, que afirma que se o limite dos termos não é zero, a série diverge.
Passo 4
Aplicando o Teste da Divergência:
Portanto, pela teoria, a série não converge.
Resposta
A série
diverge.