Determine as derivadas parciais de ordem superior indicadas.
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de ordem superior de
f(x,y)=sen(y−x), especificamente
as derivadas ∂⁵f/∂x⁵ e f_{yyx}.
Vamos usar regra da cadeia e as derivadas básicas de seno e cosseno para resolver.
f(x,y)=sen(y−x), especificamente
as derivadas ∂⁵f/∂x⁵ e f_{yyx}.
Vamos usar regra da cadeia e as derivadas básicas de seno e cosseno para resolver.
Passo 2
Chamando u=y−x, temos f=sen(u). Para ∂f/∂x, aplicamos a derivada de sen(u) que é cos(u) e multiplicamos por du/dx:
Passo 3
Para obter ∂⁵f/∂x⁵, vamos derivar sucessivamente e observar o padrão ciclo 4:
Logo, ∂⁵f/∂x⁵=−cos(y−x).
Passo 4
Agora calculamos f_y e f_{yy}. Ainda com u=y−x, du/dy=1. Então:
e derivando de novo em y:
Passo 5
Finalmente, para f_{yyx}, derivamos f_{yy} em relação a x. Temos f_{yy}=-sin(y−x) e du/dx=-1, então:
Resposta
∂⁵f/∂x⁵=−\cos(y−x), f_{yyx}=\cos(y−x)