Determine as derivadas parciais de ordem superior indicadas.
f(x, y)=sen(y-x) ; partial^5 fpartial x^5 e fy y x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de ordem superior de
f(x,y)=sen(y−x), especificamente
as derivadas ∂⁵f/∂x⁵ e f_{yyx}.
Vamos usar regra da cadeia e as derivadas básicas de seno e cosseno para resolver.

Passo 2

Chamando u=y−x, temos f=sen(u). Para ∂f/∂x, aplicamos a derivada de sen(u) que é cos(u) e multiplicamos por du/dx:
∂f∂x=cos(u)cdotdudx=cos(y−x)cdot(−1)=−cos(y−x)

Passo 3

Para obter ∂⁵f/∂x⁵, vamos derivar sucessivamente e observar o padrão ciclo 4:
fx&=-cos(y−x), fxx&=-sin(y−x), fxxx&=cos(y−x), fxxxx&=sin(y−x), fxxxxx&=-cos(y−x)
Logo, ∂⁵f/∂x⁵=−cos(y−x).

Passo 4

Agora calculamos f_y e f_{yy}. Ainda com u=y−x, du/dy=1. Então:
fy=cos(y−x)cdot1=cos(y−x),
e derivando de novo em y:
fyy=∂∂yl(cos(y−x)r)=-sin(y−x)cdot1=-sin(y−x)

Passo 5

Finalmente, para f_{yyx}, derivamos f_{yy} em relação a x. Temos f_{yy}=-sin(y−x) e du/dx=-1, então:
fyyx=∂∂xl(-sin(y−x)r)=-cos(y−x)cdot(-1)=cos(y−x)

Resposta

∂⁵f/∂x⁵=−\cos(y−x), f_{yyx}=\cos(y−x)

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