(1,5 pts) Calcular a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = \sqrt[5]{x} + 3 \sqrt{x^{5}} $. Então, o conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente as regras de derivação de potências. Vamos precisar lembrar como derivar funções do tipo $ x^n $, onde $ n $ é um expoente qualquer.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil de derivar usando expoentes. A quinta raiz de $ x $ pode ser escrita como $ x^{1/5} $ e a raiz quadrada de $ x^5 $ é $ x^{5/2} $. Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo separadamente. A regra básica para derivar $ x^n $ é multiplicar pelo expoente e diminuir o expoente em 1. Ou seja, a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
Passo 4
Derivando o primeiro termo $ x^{1/5} $:
Passo 5
Derivando o segundo termo $ 3x^{5/2} $:
Primeiro, a constante 3 continua multiplicando a derivada de $ x^{5/2} $.
Resposta
Portanto, a derivada da função é: