(1,5 pts) Calcular a derivada das seguintes funções:
f(x)=raiz[5]x+3 raizx^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = \sqrt[5]{x} + 3 \sqrt{x^{5}} $. Então, o conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente as regras de derivação de potências. Vamos precisar lembrar como derivar funções do tipo $ x^n $, onde $ n $ é um expoente qualquer.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil de derivar usando expoentes. A quinta raiz de $ x $ pode ser escrita como $ x^{1/5} $ e a raiz quadrada de $ x^5 $ é $ x^{5/2} $. Então, nossa função fica:
x

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente. A regra básica para derivar $ x^n $ é multiplicar pelo expoente e diminuir o expoente em 1. Ou seja, a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.

Passo 4

Derivando o primeiro termo $ x^{1/5} $:
x^1/5

Passo 5

Derivando o segundo termo $ 3x^{5/2} $:
Primeiro, a constante 3 continua multiplicando a derivada de $ x^{5/2} $.
3x^5/2

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
f'(x) = 15 x^-4/5 + 152 x^3/2

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