(2 pts) Calcular a derivada das seguintes funções usando a regra do produto ou quociente:
f(x)=(x^3+2 x) e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \left(x^{3} + 2x\right) e^{x} $ usando a regra do produto ou do quociente. Aqui, vamos usar a Regra do Produto, que é usada quando temos a derivada de duas funções multiplicadas. Precisamos lembrar dessa regra e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas funções que estão sendo multiplicadas. No nosso caso:
  • $ u(x) = x^{3} + 2x $
  • $ v(x) = e^{x} $
A Regra do Produto diz que a derivada de $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $ é:
u(x) = x^3 + 2x
Então, vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $ separadamente.

Passo 3

Calculando a derivada de $ u(x) = x^{3} + 2x $:
u(x) = x^3 + 2x
Agora, calculando a derivada de $ v(x) = e^{x} $:
u'(x) = ddx(x^3) + ddx(2x) = 3x^2 + 2

Passo 4

Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, aplicamos a Regra do Produto:
u'(x)

Passo 5

Podemos simplificar a expressão fatorando $ e^{x} $:
e^x

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = e^x ( x^3 + 3x^2 + 2x + 2 )

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