(2 pts) Calcular a derivada das seguintes funções usando a regra do produto ou quociente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{x^{2} + x}{x^{3} - 2} $ usando a regra do quociente ou do produto. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação para funções que são quocientes. Vamos precisar lembrar como aplicar a regra do quociente para derivar essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que representam o numerador e o denominador. No nosso caso:
- $ u(x) = x^{2} + x $ (numerador)
- $ v(x) = x^{3} - 2 $ (denominador)
Passo 3
Agora, vamos precisar das derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $. Vamos calcular cada uma separadamente:
- Derivada de $ u(x) $: $ u’(x) = \frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(x) = 2x + 1 $
- Derivada de $ v(x) $: $ v’(x) = \frac{d}{dx}(x^{3}) - \frac{d}{dx}(2) = 3x^{2} - 0 = 3x^{2} $
Passo 4
Com as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $ em mãos, vamos aplicar a regra do quociente, que diz:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo as duas expressões:
Passo 6
Agora, colocando tudo junto na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função é: