(2 pts) Calcular a derivada das seguintes funções usando a regra do produto ou quociente:
f(x)=x^2+xx^3-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{x^{2} + x}{x^{3} - 2} $ usando a regra do quociente ou do produto. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação para funções que são quocientes. Vamos precisar lembrar como aplicar a regra do quociente para derivar essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que representam o numerador e o denominador. No nosso caso:
  • $ u(x) = x^{2} + x $ (numerador)
  • $ v(x) = x^{3} - 2 $ (denominador)

Passo 3

Agora, vamos precisar das derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $. Vamos calcular cada uma separadamente:
  • Derivada de $ u(x) $: $ u’(x) = \frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(x) = 2x + 1 $
  • Derivada de $ v(x) $: $ v’(x) = \frac{d}{dx}(x^{3}) - \frac{d}{dx}(2) = 3x^{2} - 0 = 3x^{2} $

Passo 4

Com as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $ em mãos, vamos aplicar a regra do quociente, que diz:
u(x)
Substituindo os valores que encontramos:
v(x)

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
(2x + 1)(x^3 - 2) = 2x cdot x^3 + 2x cdot (-2) + 1 cdot x^3 + 1 cdot (-2) = 2x^4 - 4x + x^3 - 2
(x^2 + x)(3x^2) = 3x^4 + 3x^3
Subtraindo as duas expressões:
2x^4 - 4x + x^3 - 2 - (3x^4 + 3x^3) = -x^4 - 2x^3 - 4x - 2

Passo 6

Agora, colocando tudo junto na expressão da derivada:
f'(x) = -x^4 - 2x^3 - 4x - 2(x^3 - 2)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -x^4 - 2x^3 - 4x - 2(x^3 - 2)^2

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