Resolver as inequações em R.
|x-1|+|x-3|<|4 x|

Passo 1

O enunciado pede para resolver em ℝ a inequação envolvendo soma de valores absolutos: |x-1| + |x-3| < |4x|. O conteúdo é inequações com valor absoluto, e vamos precisar usar a definição de valor absoluto por partes, dividindo a reta nos pontos onde cada expressão muda de sinal.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos em 0, 1 e 3 (raízes de 4x, x-1 e x-3) e dividimos a reta em quatro intervalos: (-∞,0), [0,1), [1,3) e [3,∞). Em cada intervalo, substituímos |⋅| pela expressão algébrica correspondente e resolvemos a inequação.

Passo 3

Para x<0 temos as seguintes expressões:
|x-1| = 1−x
|x-3| = 3−x
|4x| = −4x
Substituindo na inequação, fica:
(1−x)+(3−x)<−4x
Isso dá 4−2x<−4x ⇒ 4<−2x ⇒ x<−2.
Como estamos em x<0, a solução nesse intervalo é x<−2.

Passo 4

Para 0≤x<1 temos:
|x-1| = 1−x
|x-3| = 3−x
|4x| = 4x
Logo:
(1−x)+(3−x)<4x
Isso leva a 4−2x<4x ⇒ 4<6x ⇒ x>2/3.
Combinando com 0≤x<1, obtemos 2/3<x<1.

Passo 5

Para 1≤x<3 temos:
|x-1| = x−1
|x-3| = 3−x
|4x| = 4x
Substituindo:
(x−1)+(3−x)<4x
Isso simplifica para 2<4x ⇒ x>1/2.
Como x≥1>1/2 vale sempre, toda a faixa [1,3) satisfaz a inequação.

Passo 6

Para x≥3 temos:
|x-1| = x−1
|x-3| = x−3
|4x| = 4x
Então:
(x−1)+(x−3)<4x
Fica 2x−4<4x ⇒ −4<2x ⇒ x>−2.
Como x≥3>−2, toda a faixa [3,∞) também satisfaz.

Passo 7

Unindo todas as soluções de cada intervalo, temos a solução final:
(-∞, -2) ∪ (2/3, ∞).

Resposta

(-∞, -2) ∪ (2/3, ∞)

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