Resolver as inequações em
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver em ℝ a inequação envolvendo soma de valores absolutos: |x-1| + |x-3| < |4x|. O conteúdo é inequações com valor absoluto, e vamos precisar usar a definição de valor absoluto por partes, dividindo a reta nos pontos onde cada expressão muda de sinal.
Passo 2
Identificamos os pontos críticos em 0, 1 e 3 (raízes de 4x, x-1 e x-3) e dividimos a reta em quatro intervalos: (-∞,0), [0,1), [1,3) e [3,∞). Em cada intervalo, substituímos |⋅| pela expressão algébrica correspondente e resolvemos a inequação.
Passo 3
Para x<0 temos as seguintes expressões:
|x-1| = 1−x
|x-3| = 3−x
|4x| = −4x
Substituindo na inequação, fica:
|x-1| = 1−x
|x-3| = 3−x
|4x| = −4x
Substituindo na inequação, fica:
Isso dá 4−2x<−4x ⇒ 4<−2x ⇒ x<−2.
Como estamos em x<0, a solução nesse intervalo é x<−2.
Passo 4
Para 0≤x<1 temos:
|x-1| = 1−x
|x-3| = 3−x
|4x| = 4x
Logo:
|x-1| = 1−x
|x-3| = 3−x
|4x| = 4x
Logo:
Isso leva a 4−2x<4x ⇒ 4<6x ⇒ x>2/3.
Combinando com 0≤x<1, obtemos 2/3<x<1.
Passo 5
Para 1≤x<3 temos:
|x-1| = x−1
|x-3| = 3−x
|4x| = 4x
Substituindo:
|x-1| = x−1
|x-3| = 3−x
|4x| = 4x
Substituindo:
Isso simplifica para 2<4x ⇒ x>1/2.
Como x≥1>1/2 vale sempre, toda a faixa [1,3) satisfaz a inequação.
Passo 6
Para x≥3 temos:
|x-1| = x−1
|x-3| = x−3
|4x| = 4x
Então:
|x-1| = x−1
|x-3| = x−3
|4x| = 4x
Então:
Fica 2x−4<4x ⇒ −4<2x ⇒ x>−2.
Como x≥3>−2, toda a faixa [3,∞) também satisfaz.
Passo 7
Unindo todas as soluções de cada intervalo, temos a solução final:
(-∞, -2) ∪ (2/3, ∞).
(-∞, -2) ∪ (2/3, ∞).
Resposta
(-∞, -2) ∪ (2/3, ∞)