em que S é a superfície lateral da região sólida delimitada por x^{2}+y^{2}=9 e pelos planos z=0 e z+y=5.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
\iint_{S} x\,dS
onde S é a superfície lateral do sólido delimitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 e pelos planos z=0 e z+y=5.
Informações dadas e o que precisamos extrair explicitamente:
A superfície S é a superfície lateral do cilindro de raio 3 (porque x^{2}+y^{2}=9 implica raio \,3\,,).
As “tampas” superior e inferior do sólido são os planos z=0 (plano inferior) e z+y=5 (plano superior), mas S é somente a superfície lateral (a casca cilíndrica), não inclui as bases.
Precisamos expressar x e o elemento de área dS na parametrização escolhida para integrar sobre S.
Devemos fornecer o valor numérico da integral.
Passo 2
Escolha de parametrização da superfície lateral do cilindro.
Como S é a superfície lateral do cilindro de raio 3, a parametrização natural é usar o ângulo \theta ao redor do eixo z e a coordenada z ao longo do eixo. Assim, tomo como parâmetros (\theta,z) com
Aqui \theta varia em [0,2\pi] para percorrer todo o círculo da base, e para cada \theta o z varia entre o plano inferior e o plano superior. O plano inferior é z=0. O plano superior é z=5-y; substituindo y=3\sin\theta (peguei y da parametrização), o limite superior em z é
Antes de prosseguir: verificar que 5-3\sin\theta\ge 0 para todos \theta. Como \sin\theta\le 1, 5-3\sin\theta\ge 2>0, logo o intervalo em z é válido para todo \theta.
Passo 3
Cálculo do elemento de área dS na parametrização.
Regra: se \mathbf{r}(\theta,z) é a parametrização, o elemento de área é
Explicação rápida do que fiz: o produto vetorial dá um vetor normal à superfície parametrizada; seu comprimento é a “área de um pequeno retângulo” no espaço gerado pelos vetores de direção dos parâmetros.
Passo 4
Expressar o integrando x na parametrização e montar a integral dupla.
Na parametrização, x=3\cos\theta (peguei x da parametrização \mathbf{r}(\theta,z)). Então o integrando x\,dS vira
Interpretação física/simétrica (ajuda a entender o resultado).
A superfície lateral do cilindro é simétrica em torno do plano y\!-\!z (ou seja, em torno do eixo z mudando x para -x). A função x é ímpar nessa simetria (valores opostos em pontos simétricos), então as contribuições positivas e negativas se cancelam, levando o integral a zero. Isso confirma o cálculo direto acima.