(2,5 pts) Calcule a integral
\iint_{S} x d S
em que S é a superfície lateral da região sólida delimitada por x^{2}+y^{2}=9 e pelos planos z=0 e z+y=5.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
\iint_{S} x\,dS
onde S é a superfície lateral do sólido delimitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 e pelos planos z=0 e z+y=5.
Informações dadas e o que precisamos extrair explicitamente:
  • A superfície S é a superfície lateral do cilindro de raio 3 (porque x^{2}+y^{2}=9 implica raio \,3\,,).
  • As “tampas” superior e inferior do sólido são os planos z=0 (plano inferior) e z+y=5 (plano superior), mas S é somente a superfície lateral (a casca cilíndrica), não inclui as bases.
  • Precisamos expressar x e o elemento de área dS na parametrização escolhida para integrar sobre S.
  • Devemos fornecer o valor numérico da integral.

Passo 2

Escolha de parametrização da superfície lateral do cilindro.
Como S é a superfície lateral do cilindro de raio 3, a parametrização natural é usar o ângulo \theta ao redor do eixo z e a coordenada z ao longo do eixo. Assim, tomo como parâmetros (\theta,z) com
\mathbf{r}(\theta,z)=\bigl(3\cos\theta,\;3\sin\theta,\;z\bigr).
Aqui \theta varia em [0,2\pi] para percorrer todo o círculo da base, e para cada \theta o z varia entre o plano inferior e o plano superior. O plano inferior é z=0. O plano superior é z=5-y; substituindo y=3\sin\theta (peguei y da parametrização), o limite superior em z é
z_{\text{max}}=5-3\sin\theta.
Portanto o domínio dos parâmetros é
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le z\le 5-3\sin\theta.
Antes de prosseguir: verificar que 5-3\sin\theta\ge 0 para todos \theta. Como \sin\theta\le 1, 5-3\sin\theta\ge 2>0, logo o intervalo em z é válido para todo \theta.

Passo 3

Cálculo do elemento de área dS na parametrização.
Regra: se \mathbf{r}(\theta,z) é a parametrização, o elemento de área é
dS=\bigl\lVert \mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\bigr\rVert\,d\theta\,dz,
onde \mathbf{r}_\theta=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta} e \mathbf{r}_z=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}.
Calculemos as derivadas:
\mathbf{r}_\theta(\theta,z)=\bigl(-3\sin\theta,\;3\cos\theta,\;0\bigr), \qquad \mathbf{r}_z(\theta,z)=\bigl(0,\;0,\;1\bigr).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -3\sin\theta & 3\cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \bigl(3\cos\theta,\;3\sin\theta,\;0\bigr).
O norm é
\bigl\lVert \mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\bigr\rVert =\sqrt{(3\cos\theta)^2+(3\sin\theta)^2}=\sqrt{9(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}=3.
Portanto
dS=3\,d\theta\,dz.
Explicação rápida do que fiz: o produto vetorial dá um vetor normal à superfície parametrizada; seu comprimento é a “área de um pequeno retângulo” no espaço gerado pelos vetores de direção dos parâmetros.

Passo 4

Expressar o integrando x na parametrização e montar a integral dupla.
Na parametrização, x=3\cos\theta (peguei x da parametrização \mathbf{r}(\theta,z)). Então o integrando x\,dS vira
x\,dS=(3\cos\theta)\cdot(3\,d\theta\,dz)=9\cos\theta\,d\theta\,dz.
A integral sobre S torna-se a integral dupla sobre o domínio dos parâmetros:
\iint_{S} x\,dS=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=0}^{\,5-3\sin\theta} 9\cos\theta\;dz\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral iterada.
Primeiro integrar em z (é simples, pois o integrando não depende de z):
\int_{z=0}^{\,5-3\sin\theta} 9\cos\theta\;dz = 9\cos\theta\cdot\bigl(5-3\sin\theta\bigr).
Assim
\iint_{S} x\,dS = \int_{0}^{2\pi} 9\cos\theta\bigl(5-3\sin\theta\bigr)\,d\theta.
Distribuindo:
\iint_{S} x\,dS = 9\int_{0}^{2\pi}\bigl(5\cos\theta - 3\cos\theta\sin\theta\bigr)\,d\theta.
Agora calcule cada termo separadamente.
  1. Para o primeiro termo,
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{2\pi}=\sin(2\pi)-\sin(0)=0.
  1. Para o segundo termo, observe que \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta). Então
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta = \tfrac{1}{2}\bigl[-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\bigr]_{0}^{2\pi} = \tfrac{1}{2}\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(4\pi)+\tfrac{1}{2}\cos(0)\bigr)=0,
pois \cos(4\pi)=\cos(0)=1, o que zera a diferença.
Portanto ambos os termos do integrando angular têm integral zero, e
\iint_{S} x\,dS = 9\bigl(5\cdot 0 - 3\cdot 0\bigr)=0.

Passo 6

Interpretação física/simétrica (ajuda a entender o resultado).
A superfície lateral do cilindro é simétrica em torno do plano y\!-\!z (ou seja, em torno do eixo z mudando x para -x). A função x é ímpar nessa simetria (valores opostos em pontos simétricos), então as contribuições positivas e negativas se cancelam, levando o integral a zero. Isso confirma o cálculo direto acima.

Resposta

0

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