Verifique se B é subanel de A.
\mathrm{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & b\end{array}\right)\right\} , \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}, \mathrm{A}=\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada a álgebra A=\mathrm{M}_2(\mathbb{R}), o anel das matrizes 2\times2 com entradas reais.
  • Foi dada a coleção B=\left\{\left.\begin{pmatrix}a & 0 \\[4pt] 0 & b\end{pmatrix}\\ \right|\\ a,b\in\mathbb{R}\right\}, ou seja, todas as matrizes diagonais 2\times2 com entradas reais nas posições (1,1) e (2,2) e zeros nas posições off-diagonais.
  • O que se pede: verificar se B é subanel de A.
Observação importante (definição que vou usar): para este exercício vou usar a definição prática de subanel que se usa comumente em álgebra elementar: um subconjunto S de um anel R é subanel se (1) S não é vazio; (2) S é fechado para adição e tem inversos aditivos (ou equivalentemente é um subgrupo aditivo); (3) S é fechado para multiplicação. Se além disso 1_R\in S, diz-se que é subanel com unidade (ou subanel unital). Vou verificar as propriedades acima para B.]

Passo 2

Lembrando as propriedades que vou checar — mini-aula curta e prática.
  • Propriedade 1 (não vazio): preciso mostrar que existe pelo menos um elemento de B (por exemplo a matriz zero).
  • Propriedade 2 (fechamento sob adição e inversos): para quaisquer X,Y\in B devemos ter X+Y\in B e -X\in B. Mostrar isso explicitamente com matrizes genéricas.
  • Propriedade 3 (fechamento sob multiplicação): para quaisquer X,Y\in B devemos ter XY\in B.
  • (Opcional) Mostrar que I_2\in B para concluir que é subanel que contém a unidade do anel-mãe.
Vou fazer cada passo mostrando um cálculo com duas matrizes genéricas de B.

Passo 3

Mostro que B não é vazio — elemento neutro aditivo.
A matriz nula de 2\times2 é
0=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Esta matriz é da forma \begin{pmatrix}a&0\\[4pt]0&b\end{pmatrix} com a=0 e b=0. Logo 0\in B. Portanto B não é vazio e contém o zero aditivo.]

Passo 4

Fechamento sob adição — cálculo com duas matrizes genéricas.
Sejam duas matrizes quaisquer de B,
X=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]0 & b\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}c & 0\\[4pt]0 & d\end{pmatrix},
com a,b,c,d\in\mathbb{R} (peguei esses parâmetros do próprio conjunto B). A soma é
X+Y=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]0 & b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c & 0\\[4pt]0 & d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+c & 0\\[4pt]0 & b+d\end{pmatrix}.
Como a+c\in\mathbb{R} e b+d\in\mathbb{R}, a matriz resultante tem a mesma forma diagonal e, portanto, X+Y\in B. Assim B é fechado para adição.]

Passo 5

Existência de inverso aditivo (fechamento sob negativos).
Para X=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]0 & b\end{pmatrix}\in B, o inverso aditivo é
-\,X=\begin{pmatrix}-a & 0\\[4pt]0 & -b\end{pmatrix},
e como -a,-b\in\mathbb{R} esta matriz também está em B. Portanto B é fechado para inversos aditivos, logo é subgrupo aditivo de A.]

Passo 6

Fechamento sob multiplicação — produto de duas diagonais é diagonal.
Com as mesmas X e Y acima, o produto é
X Y=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]0 & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c & 0\\[4pt]0 & d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac & 0\\[4pt]0 & bd\end{pmatrix}.
Aqui usei a multiplicação de matrizes usual: a entrada (1,1) é a\cdot c+0\cdot0=ac, a (1,2) é a\cdot0+0\cdot d=0, etc. Como ac,bd\in\mathbb{R}, o produto fica novamente na forma diagonal e então X Y\in B. Portanto B é fechado para multiplicação.]

Passo 7

Verificação da unidade (opcional, para subanel unital).
A matriz identidade de A é
I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
que é da forma diagonal com a=b=1. Logo I_2\in B. Portanto B contém a unidade de A, isto é, é um subanel que preserva a unidade.]

Passo 8

Conclusão formal e propriedades adicionais úteis para a prova.
  • Como B não é vazio, é fechado sob adição e inversos aditivos (Passos 3–5) e é fechado sob multiplicação (Passo 6), concluímos que B é um subanel de A.
  • Como também I_2\in B (Passo 7), B é um subanel com unidade (contém a mesma unidade de A).
  • Observação extra didática: B é comutativo (duas matrizes diagonais comutam entre si porque o produto é componente a componente), enquanto A não é comutativo em geral. Além disso há um isomorfismo de anéis muito simples
\varphi\colon B\to\mathbb{R}\times\mathbb{R},\qquad \varphi\!\left(\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]0 & b\end{pmatrix}\right)=(a,b),
que é bijetivo e preserva adição e multiplicação (verifique: \varphi(X+Y)=\varphi(X)+\varphi(Y) e \varphi(XY)=\varphi(X)\varphi(Y)). Isso dá uma intuição: B é “o mesmo” que o produto direto de dois anéis \mathbb{R}\times\mathbb{R}.]

Resposta

Sim. B é subanel de A (na verdade é subanel unital) because B é fechado para adição, possui inversos aditivos, é fechado para multiplicação e contém I_2.

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