Verifique se B é subanel de A. \mathrm{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & b\end{array}\right)\right\} , \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}, \mathrm{A}=\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Foi dada a álgebra A=\mathrm{M}_2(\mathbb{R}), o anel das matrizes 2\times2 com entradas reais.
Foi dada a coleção B=\left\{\left.\begin{pmatrix}a & 0 \\[4pt] 0 & b\end{pmatrix}\\ \right|\\ a,b\in\mathbb{R}\right\}, ou seja, todas as matrizes diagonais 2\times2 com entradas reais nas posições (1,1) e (2,2) e zeros nas posições off-diagonais.
O que se pede: verificar se B é subanel de A.
Observação importante (definição que vou usar): para este exercício vou usar a definição prática de subanel que se usa comumente em álgebra elementar: um subconjunto S de um anel R é subanel se (1) S não é vazio; (2) S é fechado para adição e tem inversos aditivos (ou equivalentemente é um subgrupo aditivo); (3) S é fechado para multiplicação. Se além disso 1_R\in S, diz-se que é subanel com unidade (ou subanel unital). Vou verificar as propriedades acima para B.]
Passo 2
Lembrando as propriedades que vou checar — mini-aula curta e prática.
Propriedade 1 (não vazio): preciso mostrar que existe pelo menos um elemento de B (por exemplo a matriz zero).
Propriedade 2 (fechamento sob adição e inversos): para quaisquer X,Y\in B devemos ter X+Y\in B e -X\in B. Mostrar isso explicitamente com matrizes genéricas.
Propriedade 3 (fechamento sob multiplicação): para quaisquer X,Y\in B devemos ter XY\in B.
(Opcional) Mostrar que I_2\in B para concluir que é subanel que contém a unidade do anel-mãe.
Vou fazer cada passo mostrando um cálculo com duas matrizes genéricas de B.
Passo 3
Mostro que B não é vazio — elemento neutro aditivo.
A matriz nula de 2\times2 é
0=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Esta matriz é da forma \begin{pmatrix}a&0\\[4pt]0&b\end{pmatrix} com a=0 e b=0. Logo 0\in B. Portanto B não é vazio e contém o zero aditivo.]
Passo 4
Fechamento sob adição — cálculo com duas matrizes genéricas.
Aqui usei a multiplicação de matrizes usual: a entrada (1,1) é a\cdot c+0\cdot0=ac, a (1,2) é a\cdot0+0\cdot d=0, etc. Como ac,bd\in\mathbb{R}, o produto fica novamente na forma diagonal e então X Y\in B. Portanto B é fechado para multiplicação.]
Passo 7
Verificação da unidade (opcional, para subanel unital).
que é da forma diagonal com a=b=1. Logo I_2\in B. Portanto B contém a unidade de A, isto é, é um subanel que preserva a unidade.]
Passo 8
Conclusão formal e propriedades adicionais úteis para a prova.
Como B não é vazio, é fechado sob adição e inversos aditivos (Passos 3–5) e é fechado sob multiplicação (Passo 6), concluímos que B é um subanel de A.
Como também I_2\in B (Passo 7), B é um subanel com unidade (contém a mesma unidade de A).
Observação extra didática: B é comutativo (duas matrizes diagonais comutam entre si porque o produto é componente a componente), enquanto A não é comutativo em geral. Além disso há um isomorfismo de anéis muito simples
que é bijetivo e preserva adição e multiplicação (verifique: \varphi(X+Y)=\varphi(X)+\varphi(Y) e \varphi(XY)=\varphi(X)\varphi(Y)). Isso dá uma intuição: B é “o mesmo” que o produto direto de dois anéis \mathbb{R}\times\mathbb{R}.]
Resposta
Sim. B é subanel de A (na verdade é subanel unital) because B é fechado para adição, possui inversos aditivos, é fechado para multiplicação e contém I_2.