(1,0 pts) Use o Teorema do Divergente para calcular a integral
\iint_{S} 3 x+5 y+2 z^{2} d S
onde S é a esfera unitária centrada na origem.
Observação: A integral acima é de uma função escalar e não de um campo vetorial.
Dica: O vetor normal unitário sobre a esfera unitária centrada na origem pode ser escrito como \vec{n}(x, y, z)=(x, y, z).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular a integral de superfície (uma integral de função escalar) \iint_{S} 3x+5y+2z^{2}\,dS,onde S é a esfera unitária centrada na origem.
  • Informação útil fornecida (peguei do enunciado): o vetor normal unitário sobre a esfera unitária centrada na origem pode ser escrito como \vec{n}(x,y,z)=(x,y,z).
  • Pergunta única: calcular o valor numérico da integral sobre S.

Passo 2

Ideia para transformar a integral de função escalar em uma integral de fluxo (explicação didática):
  • A integral dada é de uma função escalar sobre a superfície fechada S. Para usar o Teorema do Divergente (que transforma fluxo em integral de volume) convém escrever essa integral como um fluxo de um campo vetorial \vec{F} através de S, isto é, como \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
  • Se eu construir \vec{F} de modo que \vec{F}\cdot\vec{n}=3x+5y+2z^{2} sobre a superfície S, então a integral escalar original será igual ao fluxo desse \vec{F} por S. Como na esfera unitária \vec{n}=(x,y,z), uma escolha natural é \vec{F}(x,y,z)=(3x+5y+2z^{2})\,(x,y,z).Com essa escolha, sobre a esfera unitária ( x^{2}+y^{2}+z^{2}=1) vale \vec{F}\cdot\vec{n}=(3x+5y+2z^{2})\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(3x+5y+2z^{2})\cdot 1 = 3x+5y+2z^{2},então realmente \iint_{S}3x+5y+2z^{2}\,dS=\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
  • Enunciado do Teorema do Divergente (versão usada): se S é superfície fechada limitando um volume V e \vec{F} é um campo vetorial suficientemente suave, então \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.Vou usar esse teorema para transformar a integral de superfície numa integral triple sobre a bola unitária V.

Passo 3

Escrever \vec{F} explicitamente e calcular suas componentes:
  • Defino a função escalar f(x,y,z)=3x+5y+2z^{2}.
  • Defino o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=f(x,y,z)\,(x,y,z).
  • Componentes de \vec{F}: \vec{F}(x,y,z)=\bigl(F_{1},F_{2},F_{3}\bigr),com F_{1}=x(3x+5y+2z^{2})=3x^{2}+5xy+2xz^{2},
F_{2}=y(3x+5y+2z^{2})=3xy+5y^{2}+2yz^{2},
F_{3}=z(3x+5y+2z^{2})=3xz+5yz+2z^{3}.

Passo 4

Calcular a divergência \nabla\cdot\vec{F}:
  • Derivo componente a componente: \frac{\partial F_{1}}{\partial x}=6x+5y+2z^{2},
\frac{\partial F_{2}}{\partial y}=3x+10y+2z^{2},
\frac{\partial F_{3}}{\partial z}=3x+5y+6z^{2}.
  • Soma das três parcelas: \nabla\cdot\vec{F}=(6x+5y+2z^{2})+(3x+10y+2z^{2})+(3x+5y+6z^{2}).
  • Agrupando termos semelhantes: \nabla\cdot\vec{F}=12x+20y+10z^{2}.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Divergente e simplificar a integral:
  • Pelo Teorema do Divergente, \iint_{S}3x+5y+2z^{2}\,dS=\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV,onde V é a bola unitária (o volume limitado por S).
  • Logo \iint_{S}3x+5y+2z^{2}\,dS=\iiint_{V}\bigl(12x+20y+10z^{2}\bigr)\,dV.
  • Observação de simetria (muito útil): a bola unitária é simétrica em relação à origem, então as integrais de x e de y sobre V são zero, porque x e y são funções ímpares e o domínio é par: \iiint_{V}12x\,dV=0,\qquad \iiint_{V}20y\,dV=0.
  • Portanto resta apenas \iint_{S}3x+5y+2z^{2}\,dS=10\iiint_{V}z^{2}\,dV.

Passo 6

Calcular \displaystyle \iiint_{V}z^{2}\,dV na bola unitária (cálculo passo a passo em coordenadas esféricas):
  • Em coordenadas esféricas usa-se z=r\cos\theta,\qquad dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi,com 0\le r\le 1, 0\le\theta\le\pi, 0\le\varphi\le 2\pi.
  • O integrando z^{2} fica r^{2}\cos^{2}\theta. Assim \iiint_{V}z^{2}\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}r^{2}\cos^{2}\theta\;r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
  • Simplificando o integrando: \iiint_{V}z^{2}\,dV=\int_{0}^{2\pi}d\varphi\;\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{1}r^{4}\,dr.
  • Calcular cada integral separadamente: \int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi,
\int_{0}^{1}r^{4}\,dr=\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5},
para a integral em \theta faço a substituição u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta. Quando \theta vai de 0 a \pi, u vai de 1 a -1. Assim
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta=-\int_{1}^{-1}u^{2}\,du=\int_{-1}^{1}u^{2}\,du.
Essa última integral é
\int_{-1}^{1}u^{2}\,du=2\int_{0}^{1}u^{2}\,du=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
  • Juntando todos os fatores: \iiint_{V}z^{2}\,dV=2\pi\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{4\pi}{15}.

Passo 7

Valor final da integral de superfície:
  • Voltando à expressão obtida no Passo 5, \iint_{S}3x+5y+2z^{2}\,dS=10\iiint_{V}z^{2}\,dV=10\cdot\frac{4\pi}{15}.
  • Simplificando: 10\cdot\frac{4\pi}{15}=\frac{40\pi}{15}=\frac{8\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{8\pi}{3}

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