(1,0 pts) Use o Teorema do Divergente para calcular a integral
onde
é a esfera unitária centrada na origem.
Observação: A integral acima é de uma função escalar e não de um campo vetorial.
Dica: O vetor normal unitário sobre a esfera unitária centrada na origem pode ser escrito como
.
Dica: O vetor normal unitário sobre a esfera unitária centrada na origem pode ser escrito como
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se calcular a integral de superfície (uma integral de função escalar)
onde é a esfera unitária centrada na origem. - Informação útil fornecida (peguei do enunciado): o vetor normal unitário sobre a esfera unitária centrada na origem pode ser escrito como
. - Pergunta única: calcular o valor numérico da integral sobre
.
Passo 2
Ideia para transformar a integral de função escalar em uma integral de fluxo (explicação didática):
- A integral dada é de uma função escalar sobre a superfície fechada
. Para usar o Teorema do Divergente (que transforma fluxo em integral de volume) convém escrever essa integral como um fluxo de um campo vetorial através de , isto é, como - Se eu construir
de modo que sobre a superfície , então a integral escalar original será igual ao fluxo desse por . Como na esfera unitária , uma escolha natural é Com essa escolha, sobre a esfera unitária ( ) vale então realmente - Enunciado do Teorema do Divergente (versão usada): se
é superfície fechada limitando um volume e é um campo vetorial suficientemente suave, então Vou usar esse teorema para transformar a integral de superfície numa integral triple sobre a bola unitária .
Passo 3
Escrever
explicitamente e calcular suas componentes:
- Defino a função escalar
- Defino o campo vetorial
- Componentes de
: com
Passo 4
Calcular a divergência
:
- Derivo componente a componente:
- Soma das três parcelas:
- Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Aplicar o Teorema do Divergente e simplificar a integral:
- Pelo Teorema do Divergente,
onde é a bola unitária (o volume limitado por ). - Logo
- Observação de simetria (muito útil): a bola unitária é simétrica em relação à origem, então as integrais de
e de sobre são zero, porque e são funções ímpares e o domínio é par: - Portanto resta apenas
Passo 6
Calcular
na bola unitária (cálculo passo a passo em coordenadas esféricas):
- Em coordenadas esféricas usa-se
com , , . - O integrando
fica . Assim - Simplificando o integrando:
- Calcular cada integral separadamente:
para a integral em
faço a substituição
,
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Essa última integral é
- Juntando todos os fatores:
Passo 7
Valor final da integral de superfície:
- Voltando à expressão obtida no Passo 5,
- Simplificando: