Verifique se B é subanel de A.
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos\n
- Pergunta: verificar se
é subanel de .\n - Dados:
-
(os números racionais).\n -
. Ou seja, é o conjunto dos racionais cujo denominador (na forma aqui dada) é uma potência de .
-
Passo 2
Definição prática que vamos usar (sem jargões): o que é preciso mostrar para que
seja subanel de
\n
- Um subconjunto
é um subanel se, na estrutura de anel de , for fechado para as operações e contiver o elemento neutro aditivo e inversos aditivos. Uma forma simples e suficiente (muito usada) é verificar: -
. - Se
então (fechamento para subtração garante fechamento para adição e existência de inversos aditivos). - Se
então (fechamento para multiplicação).\n
Se essas três propriedades forem verificadas,é subanel de .
-
Passo 3
Verificar que
e que
não é vazio\n
- Note que
e , logo .\n - Assim
é não vazio e contém o neutro aditivo.
Passo 4
Fechamento para subtração (ou adição e inversos aditivos) — explicação didática do cálculo\n
- Tome
. Então existem inteiros e tais que - Para somar (ou subtrair) frações com potências de
em denominador, escolha . Reescrevendo com denominador temos Aqui e são inteiros porque e são inteiros não negativos e .\n - Portanto a soma (ou diferença) é
O numerador é inteiro, logo está na forma , isto é .\n - Em particular, para subtração:
. E para inverso aditivo de basta observar .
Passo 5
Fechamento para multiplicação — explicação passo a passo\n
- Com
e como acima, o produto é - Como
e , segue tem a forma , isto é .\n - Logo
é fechado para multiplicação.
Passo 6
Observações adicionais úteis (didáticas, para a prova)\n
- Verificou-se que
, é fechado para subtração (logo é subgrupo aditivo) e fechado para multiplicação. Essas são exatamente as condições que usamos para concluir que um subconjunto é subanel.\n - Nota extra:
, então contém a unidade de . Entretanto não é corpo (não é subcorpo) porque, por exemplo, — não existe com (isso exigiria , impossível porque não é múltiplo de ).
Resposta
Sim.
é subanel de
.