Verifique se B é subanel de A.
\mathrm{B}=\left\{\frac{a}{2^{n}} \in \mathbb{Q} ; \mathrm{a}, \mathrm{n} \in \mathbb{Z}\right\} , \mathrm{A}=\mathbb{Q}

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos\n
  • Pergunta: verificar se B é subanel de A.\n
  • Dados:
    • A=\mathbb{Q} (os números racionais).\n
    • B=\left\{\dfrac{a}{2^{n}}\in\mathbb{Q}\;;\;a,n\in\mathbb{Z}\right\}. Ou seja, B é o conjunto dos racionais cujo denominador (na forma aqui dada) é uma potência de 2.

Passo 2

Definição prática que vamos usar (sem jargões): o que é preciso mostrar para que B seja subanel de A\n
  • Um subconjunto B\subseteq A é um subanel se, na estrutura de anel de A, B for fechado para as operações e contiver o elemento neutro aditivo e inversos aditivos. Uma forma simples e suficiente (muito usada) é verificar:
    1. 0\in B.
    2. Se x,y\in B então x-y\in B (fechamento para subtração garante fechamento para adição e existência de inversos aditivos).
    3. Se x,y\in B então xy\in B (fechamento para multiplicação).\n
      Se essas três propriedades forem verificadas, B é subanel de A.

Passo 3

Verificar que 0\in B e que B não é vazio\n
  • Note que 0=\dfrac{0}{2^{0}} e 0,0\in\mathbb{Z}, logo 0\in B.\n
  • Assim B é não vazio e contém o neutro aditivo.

Passo 4

Fechamento para subtração (ou adição e inversos aditivos) — explicação didática do cálculo\n
  • Tome x,y\in B. Então existem inteiros a,n e b,m tais que x=\dfrac{a}{2^{n}},\qquad y=\dfrac{b}{2^{m}}.
  • Para somar (ou subtrair) frações com potências de 2 em denominador, escolha k=\max(n,m). Reescrevendo com denominador 2^{k} temos x=\dfrac{a\,2^{\,k-n}}{2^{k}},\qquad y=\dfrac{b\,2^{\,k-m}}{2^{k}}.Aqui a\,2^{\,k-n} e b\,2^{\,k-m} são inteiros porque k-n e k-m são inteiros não negativos e a,b\in\mathbb{Z}.\n
  • Portanto a soma (ou diferença) é x\pm y=\dfrac{a\,2^{\,k-n}\pm b\,2^{\,k-m}}{2^{k}}.O numerador é inteiro, logo x\pm y está na forma \dfrac{\text{inteiro}}{2^{k}}, isto é x\pm y\in B.\n
  • Em particular, para subtração: x-y\in B. E para inverso aditivo de x basta observar -x=\dfrac{-a}{2^{n}}\in B.

Passo 5

Fechamento para multiplicação — explicação passo a passo\n
  • Com x=\dfrac{a}{2^{n}} e y=\dfrac{b}{2^{m}} como acima, o produto é xy=\dfrac{a}{2^{n}}\cdot\dfrac{b}{2^{m}}=\dfrac{ab}{2^{n+m}}.
  • Como ab\in\mathbb{Z} e n+m\in\mathbb{Z}, segue xy tem a forma \dfrac{\text{inteiro}}{2^{\text{inteiro}}}, isto é xy\in B.\n
  • Logo B é fechado para multiplicação.

Passo 6

Observações adicionais úteis (didáticas, para a prova)\n
  • Verificou-se que 0\in B, B é fechado para subtração (logo é subgrupo aditivo) e fechado para multiplicação. Essas são exatamente as condições que usamos para concluir que um subconjunto é subanel.\n
  • Nota extra: 1=\dfrac{1}{2^{0}}\in B, então B contém a unidade 1 de \mathbb{Q}. Entretanto B não é corpo (não é subcorpo) porque, por exemplo, \dfrac{1}{3}\notin B — não existe a,n\in\mathbb{Z} com \dfrac{a}{2^{n}}=\dfrac{1}{3} (isso exigiria 3a=2^{n}, impossível porque 2^{n} não é múltiplo de 3).

Resposta

Sim. B é subanel de A.

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