2- (2.5 pts) Calcule a integral
integral0^raizpi integraly^raizpi cos (x^2) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^raizpi integraly^raizpi cosl(x^2r),dx,dy
O conteúdo envolvido é troca de ordem de integração e uso de substituição para integrar expressões do tipo xcos(x^2).

Passo 2

Descrito o domínio
R = (x,y)mid 0<= y<= raizpi,;y<= x<= raizpi,
podemos trocar a ordem de integração, observando que para cada xin[0,raizpi] temos yin[0,x]. Assim
integral0^raizpi!integraly^raizpicos(x^2),dx,dy =integralx=0^raizpi!integraly=0^xcos(x^2),dy,dx

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
integraly=0^x cos(x^2),dy =cos(x^2)integral0^xdy = x,cos(x^2)
Logo a integral reduz-se a
integral0^raizpi x,cos(x^2),dx

Passo 4

Fazemos a substituição u = x^2, de modo que du = 2x,dx e x,dx = tfrac12,du. Quando x vai de 0 a raizpi, u vai de 0 a pi. Assim
integral0^raizpi x,cos(x^2),dx =12integral0^picos(u),du =12l[sin(u)r]0^pi =12l(sinpi-sin0r) =0

Resposta

0

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