a) (3 pts) Calcule a integral de linha \int_{C}\left(2 y+\cos \left(e^{x}\right)\right) d x+\left(11 x-\sqrt[3]{y^{6}+1}\right) d y, onde C é o círculo x^{2}+y^{2}=4.
Seja \mathbf{F}(x, y, z)=(2 x y z-2 y) \mathbf{i}+\left(x^{2} z-2 x\right) \mathbf{j}+\left(x^{2} y+2 z\right) \mathbf{k}.
  • (3 pts) O campo F é conservativo? justifique!
  • (3 pts) Calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde C é a linha poligonal (-1,0,2) \rightarrow(0,0,0) \rightarrow(1,1,0) \rightarrow(3,0,0) \rightarrow (2, 0,1).

Passo 1

O enunciado (a) pede
\oint_{C}\bigl(2y+\cos(e^x)\bigr)\,dx+\bigl(11x-\sqrt[3]{y^6+1}\bigr)\,dy
onde C é o círculo x^2+y^2=4. Como C é fechado e P(x,y)=2y+\cos(e^x), Q(x,y)=11x-\sqrt[3]{y^6+1} são C^1 em todo o disco D\colon x^2+y^2\le4, vamos usar o Teorema de Green para transformar em integral dupla sobre D.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dx\,dy.
Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(11x-\sqrt[3]{y^6+1})=11, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(2y+\cos(e^x))=2,
logo o integrando é 11-2=9.

Passo 3

Assim
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}9\,dx\,dy =9\cdot\text{Area}(D) =9\cdot\pi\cdot2^2 =36\pi.

Passo 4

O enunciado (b) define o campo
\mathbf{F}(x,y,z) =(2xyz-2y)\,\mathbf{i}+(x^2z-2x)\,\mathbf{j}+(x^2y+2z)\,\mathbf{k}
e pergunta se \mathbf{F} é conservativo.

Passo 5

Calculamos o rotacional \nabla\times\mathbf{F}:
\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\frac{\partial F_k}{\partial y}-\frac{\partial F_j}{\partial z},\, \frac{\partial F_i}{\partial z}-\frac{\partial F_k}{\partial x},\, \frac{\partial F_j}{\partial x}-\frac{\partial F_i}{\partial y}\Bigr).
Verifica-se que cada componente é zero:
\frac{\partial F_k}{\partial y}=x^2,\; \frac{\partial F_j}{\partial z}=x^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial F_k}{\partial y}-\frac{\partial F_j}{\partial z}=0,
\frac{\partial F_i}{\partial z}=2xy,\; \frac{\partial F_k}{\partial x}=2xy \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial F_i}{\partial z}-\frac{\partial F_k}{\partial x}=0,
\frac{\partial F_j}{\partial x}=2xz-2,\; \frac{\partial F_i}{\partial y}=2xz-2 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial F_j}{\partial x}-\frac{\partial F_i}{\partial y}=0.

Passo 6

Como \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em \mathbb{R}^3, que é simplesmente conectado, concluímos que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 7

Para calcular \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo da poligonal A(-1,0,2)\to B(0,0,0)\to C(1,1,0)\to D(3,0,0)\to E(2,0,1), basta achar potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
  1. Da condição \varphi_x=2xyz-2y integramos em x:
\varphi=x^2yz-2xy+g(y,z).
  1. Da condição \varphi_y=x^2z-2x obtemos g_y=0, logo g=h(z).
  2. Da condição \varphi_z=x^2y+h'(z)=x^2y+2z tiramos h'(z)=2z\Rightarrow h(z)=z^2.
    Assim
\varphi(x,y,z)=x^2yz-2xy+z^2+C.

Passo 8

O valor da integral depende só dos extremos A e E:
\varphi(E)=\varphi(2,0,1)=1+C, \qquad \varphi(A)=\varphi(-1,0,2)=4+C,
logo
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\varphi(E)-\varphi(A) =(1+C)-(4+C) =-3.

Resposta

a) \displaystyle\oint_{C}(2y+\cos(e^x))\,dx+(11x-\sqrt[3]{y^6+1})\,dy=36\pi.
b) O campo \mathbf{F} é conservativo (pois \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em \mathbb{R}^3).
c) \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-3.

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