a) (3 pts) Calcule a integral de linha
, onde
é o círculo
.
Seja
.
- (3 pts) O campo F é conservativo? justifique!
- (3 pts) Calcule
, onde
é a linha poligonal
(2, 0,1).
Seja
Passo 1
O enunciado (a) pede
onde
é o círculo
. Como
é fechado e
,
são
em todo o disco
, vamos usar o Teorema de Green para transformar em integral dupla sobre
.
Passo 2
Pelo Teorema de Green,
Calculamos
logo o integrando é
.
Passo 3
Assim
Passo 4
O enunciado (b) define o campo
e pergunta se
é conservativo.
Passo 5
Calculamos o rotacional
:
Verifica-se que cada componente é zero:
Passo 6
Como
em
, que é simplesmente conectado, concluímos que
é conservativo.
Passo 7
Para calcular
ao longo da poligonal
, basta achar potencial
tal que
.
- Da condição
integramos em :
- Da condição
obtemos , logo . - Da condição
tiramos .
Assim
Passo 8
O valor da integral depende só dos extremos
e
:
logo
Resposta
a)
b) O campo é conservativo (pois
em
).
c)
b) O campo
c)