Resolver as seguintes equações diferenciais.
1/x - tg y * dy/dx = 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{1}{x} - \tan y \,\frac{dy}{dx} = 0.
Este é um caso de equação de primeira ordem e variáveis separáveis, pois podemos isolar funções de x de um lado e de y do outro.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
\tan y\;\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\,\tan y} = \frac{\cos y}{x\,\sin y}.
Agora separamos as variáveis:
\tan y\,dy = \frac{dx}{x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \tan y \,dy = \int \frac{1}{x}\,dx.
No lado esquerdo usamos \displaystyle \int \tan y\,dy = -\ln\bigl|\cos y\bigr| e no direito \displaystyle \int x^{-1}dx = \ln|x|. Assim,
-\ln\bigl|\cos y\bigr| = \ln|x| + C.

Passo 4

Reorganizando a constante e usando propriedades de logaritmo:
\ln\bigl|\cos y\bigr| + \ln|x| = -C \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|x\cos y\bigr| = C' \quad\Longrightarrow\quad x\cos y = C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
x\cos y = C,
com C constante de integração.

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