(2,5 pts) Calcule integralC(-10 x y) d x+(raizx y+z^2) d y+(x+2 y) d z onde C é a curva dada pela interseção do plano x=2 y com a superfície z=x^2+y^2 do ponto (0,0,0) até o ponto (2,1,5).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha de F=(P,Q,R) com
P(x,y,z) = -10,x,y, Q(x,y,z)=raizx,y+z^2, R(x,y,z)=x+2y
ao longo da curva C definida pela interseção do plano x=2y com a superfície z=x^2+y^2, do ponto (0,0,0) até (2,1,5). O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial e vamos usar parametrização de C.

Passo 2

Como x=2y, tomamos y=t. Então
x=2t, z=x^2+y^2=(2t)^2+t^2=5t^2
A parametrização é
r(t)=(2t,;t,;5t^2), tin[0,1],
pois em t=0 temos (0,0,0) e em t=1 (2,1,5).

Passo 3

Derivando em relação a t:
drdt=(2,;1,;10t),
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,dx=2,dt,;dy=dt,;dz=10t,dt

Passo 4

Substituindo em P,dx+Q,dy+R,dz:
P,dx = -10,(2t),t,(2,dt)=-40,t^2dt, R,dz=(2t+2t),(10t,dt)=40,t^2dt,
que somam zero. Assim sobra
Q,dy=raiz(2t),t+(5t^2)^2;dt =raiz2t^2+25t^4;dt =traiz2+25t^2;dt
A integral vira
integralCP,dx+Q,dy+R,dz =integral0^1traiz2+25t^2;dt

Passo 5

Use a substituição u=2+25t^2, du=50t,dt, de u(0)=2 até u(1)=27:
integral0^1traiz2+25t^2,dt =150integral2^27u^1/2,du =150cdot23l[u^3/2r]2^27 =175l[27^3/2-2^3/2r]
Como 27^3/2=81raiz3 e 2^3/2=2raiz2, obtemos o valor final.

Resposta

integralC(-10xy),dx+l(raizxy+z^2r),dy+(x+2y),dz =81raiz3-2raiz275

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