( 2,5 pts ) Suponha que um arame tem o formato da curva C parametrizada por sigma(t)=(cos (t), sin (t), t), do ponto (1,0,0) até o ponto (0,1, pi2). Se a densidade do arame no ponto (x, y, z) in C é dada pela função f(x, y, z)=x y+z, determine a massa total do arame.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um fio no formato da curva C dada pela parametrização
sigma(t) = (cos t,,sin t,,t),
com t variando de 0 a tfracpi2. A densidade no ponto (x,y,z) é
f(x,y,z)=xy+z
Conteúdo: vamos usar a integral de linha para massa de um fio com densidade variável, ou seja
massa=integralCf,ds
que em parametrização vira integrala^bf(sigma(t))l|sigma'(t)r|,dt.

Passo 2

Calculamos a velocidade da parametrização:
sigma'(t)=(-sin t,;cos t,;1),
então
l|sigma'(t)r| =raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2 =raiz1+1 =raiz2

Passo 3

Substituindo x=cos t, y=sin t, z=t em f temos
fl(sigma(t)r) =cos t;sin t + t =tfrac12sin(2t)+t
Logo a massa é
integral0^pi2l(tfrac12sin(2t)+tr)raiz2;dt =raiz2integral0^pi2tfrac12sin(2t),dt +raiz2integral0^pi2t,dt

Passo 4

Calculamos cada integral:
integral0^pi2tfrac12sin(2t),dt =tfrac12l[-tfrac12cos(2t)r]0^pi2 =tfrac12l[-tfrac12(cospi-cos0)r] =tfrac12cdotl[-tfrac12(-1-1)r] =tfrac12,
integral0^pi2t,dt =l[tfract^22r]0^pi2 =tfrac12l(tfracpi2r)^2 =tfracpi^28
Somando e multiplicando por raiz2
massa =raiz2l(tfrac12+tfracpi^28r)

Resposta

massa = raiz2l(tfrac12+tfracpi^28r) =(,4+pi^2,)raiz28

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