Seja g: R R uma função derivável. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de:
f(x, y)=g(xy)

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de duas variáveis
f(x,y)=gl(tfracxyr),
onde gcolonRtoR é derivável. Então vamos usar a regra da cadeia para funções compostas: se u(x,y)=tfracxy e f(x,y)=g(u(x,y)), vale
partial fpartial x = g'l(u(x,y)r),partial upartial x, partial fpartial y = g'l(u(x,y)r),partial upartial y

Passo 2

Calcular partial u/partial x e então partial f/partial x. Como
u(x,y)=xy,
temos
partial upartial x=1y
Pela regra da cadeia,
partial fpartial x = g'!l(tfracxyr),1y

Passo 3

Calcular partial u/partial y e então partial f/partial y. Diferenciando
u(x,y)=x,y^-1,
vem
partial upartial y = xcdot(-1),y^-2 = -xy^2
Logo, pela regra da cadeia,
partial fpartial y = g'!l(tfracxyr), l(-xy^2r) = -xy^2;g'!l(tfracxyr)

Resposta

partial fpartial x = 1y;g'!l(xyr), partial fpartial y = -xy^2;g'!l(xyr)

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