Seja f(x, y)=raizx^4+y^2. Mostre que partial fpartial y(0,0) não existe.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=raizx^4+y^2
e pede para mostrar que o derivado parcial em relação a y no ponto (0,0) não existe. Vamos usar a definição de derivada parcial e verificar o limite que a define.

Passo 2

A derivada parcial de f em relação a y em (0,0) é
partial fpartial y(0,0) = limhto 0f(0,0+h)-f(0,0)h
Como f(0,0)=raiz0^4+0^2=0 e
f(0,h)=raiz0^4+h^2=raizh^2=|h|,
temos
f(0,h)-f(0,0)h =|h|h

Passo 3

Analisando o comportamento de |h|h quando hto0:
  • Se hto0^+, então |h|=h e |h|h=1.
  • Se hto0^-, então |h|=-h e |h|h=-1.
Os limites laterais não coincidem, pois
limhto0^+|h|h=1 e limhto0^-|h|h=-1

Passo 4

Como o limite limhto0|h|h não existe (os dois lados são diferentes), concluímos que
partial fpartial y(0,0) não existe.

Resposta

A derivada parcial partial fpartial y(0,0) não existe.

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