(2,5 pts) Calcule integralC F cdot d r onde F(x, y, z)=(e^y+2 z, x e^y+2 z, 2 x e^y+2 z) e C é a poligonal de vértices P1=(1,1,1) e P2=(1,1,0) e P3=(0,1,0) orientada de P1 para P3.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
integralCFcdot d r
onde F(x,y,z)=l(e^y+2z,,x e^y+2z,,2x e^y+2zr) e C é a poligonal P1=(1,1,1)to P2=(1,1,0)to P3=(0,1,0).
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos usar o Teorema Fundamental para campos conservativos, ou seja, mostrar que F=nablaphi para alguma função potencial phi.

Passo 2

Procuramos phi(x,y,z) tal que
partialphipartial x=e^y+2z, partialphipartial y=x e^y+2z, partialphipartial z=2x e^y+2z
Integrando partialphi/partial x=e^y+2z em relação a x
phi(x,y,z)=x,e^y+2z+h(y,z)
Derivando isso em y e comparando com partialphi/partial y confirma que h é constante e igual a zero, logo
phi(x,y,z)=x,e^y+2z

Passo 3

Como F=nablaphi, vale o teorema fundamental da integral de linha:
integralCFcdot d r =phil(P3r)-phil(P1r)
Calculamos
phi(P1)=phi(1,1,1)=1cdot e^1+2=e^3, phi(P3)=phi(0,1,0)=0cdot e^1+0=0

Resposta

integralCFcdot d r =0 - e^3 =-e^3

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