2 (4,0 pts.) Calcule os limites abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0tan(x)-sin(x)x^3.
O conteúdo envolvido é limite de funções e uso de séries de Taylor em torno de x=0.

Passo 2

Vamos escrever as séries de Taylor de sin(x) e tan(x) até a ordem x^3:
sin(x)=x-x^36+O(x^5),
tan(x)=x+x^33+O(x^5)

Passo 3

Subtraindo sin(x) de tan(x) e extraindo o termo em x^3, obtemos
tan(x)-sin(x) =l(x+tfracx^33r)-l(x-tfracx^36r)+O(x^5) =x^33+x^36+O(x^5) =x^32+O(x^5)
Dividindo por x^3
tan(x)-sin(x)x^3 =12+O(x^2)

Passo 4

Quando xto0, o termo O(x^2) tende a zero, logo
limxto0tan(x)-sin(x)x^3=12

Resposta

12

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