Use o Método de Indução Finita para provar as seguintes relações:
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução finita, que para todo inteiro
vale
O conteúdo envolve soma de logaritmos, uso da propriedade
e o esquema de prova por indução finita (base e passo indutivo).
Passo 2
Base de indução (
):
Por outro lado,
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para um dado
já seja verdade que
Passo 4
Passo indutivo (
):
Começamos com a soma até :
Começamos com a soma até
Pela hipótese de indução isso é
Agora usamos a soma de logaritmos:
pois no produto
cancelam-se
e um fator
. Finalmente,
que é exatamente a fórmula desejada para
. Isso completa o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução finita, para todo
vale