(4 pts) Calcule os limites: Justifique todas as suas afirmações.
(b) \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt[3]{x} \cos \frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a 0 da função
\sqrt[3]{x}\cos\frac{1}{x}.
Informações/dados importantes fornecidos pelo enunciado:
  • A função considerada é f(x)=\sqrt[3]{x}\cos\frac{1}{x}.
  • O ponto onde o limite é pedido é x\to 0.
  • Não há outras restrições no enunciado (por exemplo, valores ou gráficos adicionais).

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade simples e muito útil sobre o cosseno: para todo real t vale
-1\le \cos t \le 1.
Essa propriedade significa que a função \cos é limitada entre -1 e 1. Em particular, para t=\dfrac{1}{x} (sempre que x\neq 0) continua valendo
-1\le \cos\frac{1}{x}\le 1.

Passo 3

Usando que \cos\frac{1}{x} está entre -1 e 1, multiplicando essa desigualdade por \sqrt[3]{x} não negativo ou negativo exige cuidado com o sinal. Para evitar esse detalhe, é mais direto trabalhar com valores absolutos e obter a desigualdade
\left|\sqrt[3]{x}\cos\frac{1}{x}\right| \le \left|\sqrt[3]{x}\right|
para todo x (onde a expressão está definida, isto é, todo x). A razão: |\cos(\cdot)|\le 1 implica |a\cos(\cdot)|\le |a| para qualquer a, aqui a=\sqrt[3]{x}.

Passo 4

Agora precisamos saber o limite de \left|\sqrt[3]{x}\right| quando x\to 0. Mostro isso com uma prova \varepsilon- \delta curta (para você poder repetir na prova):
Queremos provar que
\lim_{x\to 0}\sqrt[3]{x}=0.
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon^{3}. Se |x|<\delta, então
\left|\sqrt[3]{x}\right| = |x|^{1/3} < \delta^{1/3} = (\varepsilon^{3})^{1/3} = \varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (precisamente \delta=\varepsilon^{3}) tal que |x|<\delta implica |\sqrt[3]{x}-0|<\varepsilon. Logo \lim_{x\to 0}\sqrt[3]{x}=0. (Intuição: \sqrt[3]{x} é contínua e anula em 0.)

Passo 5

Com a desigualdade do Passo 3 e o resultado do Passo 4 podemos aplicar o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). Esse teorema diz: se para todos x próximos de 0 vale
-\,\left|\sqrt[3]{x}\right| \le \sqrt[3]{x}\cos\frac{1}{x} \le \left|\sqrt[3]{x}\right|
e se \lim_{x\to 0} -\left|\sqrt[3]{x}\right| = 0 = \lim_{x\to 0} \left|\sqrt[3]{x}\right|, então necessariamente
\lim_{x\to 0} \sqrt[3]{x}\cos\frac{1}{x} = 0.
Aplicando isso aqui, como vimos \lim_{x\to 0}\left|\sqrt[3]{x}\right|=0, concluímos que o limite da função produto é 0.

Passo 6

Comentário didático final (para fixar): mesmo que \cos\frac{1}{x} oscile muito quando x\to 0 (não tem limite), o fator \sqrt[3]{x} tende a zero e “aplasta” essas oscilações, fazendo com que o produto vá para zero. Essa é uma estratégia clássica em limites: mostrar que um fator é pequeno em módulo e que o outro é limitado.

Resposta

0

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