(4 pts) Calcule os limites: Justifique todas as suas afirmações.
(c)
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Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite e justificar todas as afirmações:
Informações dadas e observações iniciais que vêm do enunciado:
- A expressão é
. - O limite é quando
tende a pela direita, isto é . - A função está bem definida para
(porque exige e aqui usamos pelo inverso ).
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicada de forma didática): a ideia é usar o teorema do sanduíche (também chamado de teorema do confronto ou squeeze theorem). Vou enunciar o teorema de forma prática para aplicar aqui: se existem funções
e
tais que, para
próximo de
,
e
então
. Em palavras: se
fica sempre entre duas funções que têm o mesmo limite
, então
também tem limite
. Vai ser uma aplicação direta: encontraremos duas funções que limitam por cima e por baixo
e cujo limite é
.
Passo 3
Propriedade básica sobre
que usaremos: para todo número real
vale
Essa desigualdade é uma propriedade elementar do seno (pode ser vista no círculo trigonométrico: seno é a ordenada de um ponto no círculo unitário, então está entre
e
).
Passo 4
Aplicando a desigualdade do seno ao argumento
(que é um número real sempre que
), obtemos, para todo
,
Agora multiplicamos toda a desigualdade por
. Como estamos multiplicando por
, a direção das desigualdades é preservada. Logo, para todo
,
Passo 5
Calcular os limites das funções que aparecem nas extremidades das desigualdades. Temos
Justificação:
é a definição básica da convergência de uma função identidade; multiplicar por
dá
. Portanto ambas as funções-limite tendem a
.
Passo 6
Agora aplicamos o teorema do sanduíche (passo 2) às desigualdades do passo 4 e aos limites do passo 5. Como
para
próximo de
, e tanto
quanto
são iguais a
, segue pelo teorema do sanduíche que
Passo 7
(Apenas para reforçar a intuição: método alternativo curto.) Faça a substituição
. Então
. Quando
, tem-se
. A expressão torna-se
Como
para todo
, obtém-se
e
. Pelo teorema do sanduíche concluímos novamente que o limite é
. Isso dá a mesma conclusão e pode ser útil mentalmente: é como “uma coisa oscilante (seno) sendo esmagada por um fator que vai para zero (
)”.
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