(4 pts) Calcule os limites: Justifique todas as suas afirmações.
(c) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \sin \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite e justificar todas as afirmações:
\lim_{x\to 0^{+}} x\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right).
Informações dadas e observações iniciais que vêm do enunciado:
  • A expressão é x\sin\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right).
  • O limite é quando x tende a 0 pela direita, isto é x\to0^{+}.
  • A função está bem definida para x>0 (porque \sqrt{x} exige x\ge0 e aqui usamos x>0 pelo inverso 1/\sqrt{x}).

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicada de forma didática): a ideia é usar o teorema do sanduíche (também chamado de teorema do confronto ou squeeze theorem). Vou enunciar o teorema de forma prática para aplicar aqui: se existem funções g(x) e h(x) tais que, para x próximo de a,
g(x)\le f(x)\le h(x),
e
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então \lim_{x\to a} f(x)=L. Em palavras: se f fica sempre entre duas funções que têm o mesmo limite L, então f também tem limite L. Vai ser uma aplicação direta: encontraremos duas funções que limitam por cima e por baixo x\sin(1/\sqrt{x}) e cujo limite é 0.

Passo 3

Propriedade básica sobre \sin que usaremos: para todo número real t vale
-1 \le \sin(t) \le 1.
Essa desigualdade é uma propriedade elementar do seno (pode ser vista no círculo trigonométrico: seno é a ordenada de um ponto no círculo unitário, então está entre -1 e 1).

Passo 4

Aplicando a desigualdade do seno ao argumento t=\dfrac{1}{\sqrt{x}} (que é um número real sempre que x>0), obtemos, para todo x>0,
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \le 1.
Agora multiplicamos toda a desigualdade por x. Como estamos multiplicando por x>0, a direção das desigualdades é preservada. Logo, para todo x>0,
-x \le x\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \le x.

Passo 5

Calcular os limites das funções que aparecem nas extremidades das desigualdades. Temos
\lim_{x\to 0^{+}} (-x) = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^{+}} x = 0.
Justificação: \lim_{x\to 0^{+}} x = 0 é a definição básica da convergência de uma função identidade; multiplicar por -1 \lim_{x\to 0^{+}} (-x)=0. Portanto ambas as funções-limite tendem a 0.

Passo 6

Agora aplicamos o teorema do sanduíche (passo 2) às desigualdades do passo 4 e aos limites do passo 5. Como
-x \le x\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \le x
para x>0 próximo de 0, e tanto \lim_{x\to 0^{+}}(-x) quanto \lim_{x\to 0^{+}}x são iguais a 0, segue pelo teorema do sanduíche que
\lim_{x\to 0^{+}} x\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 0.

Passo 7

(Apenas para reforçar a intuição: método alternativo curto.) Faça a substituição y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}. Então x=\dfrac{1}{y^{2}}. Quando x\to 0^{+}, tem-se y\to +\infty. A expressão torna-se
x\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=\frac{1}{y^{2}}\sin(y).
Como -1\le\sin(y)\le1 para todo y, obtém-se
-\frac{1}{y^{2}}\le \frac{1}{y^{2}}\sin(y)\le \frac{1}{y^{2}},
e \lim_{y\to+\infty}\pm\dfrac{1}{y^{2}}=0. Pelo teorema do sanduíche concluímos novamente que o limite é 0. Isso dá a mesma conclusão e pode ser útil mentalmente: é como “uma coisa oscilante (seno) sendo esmagada por um fator que vai para zero ( 1/y^{2})”.

Resposta

0

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