(2 pts) Seja
. Encontre as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
Observações: É proibido o uso de qualquer equipamento eletrônico. Desligue o celular.
(Sugestão: Prove, primeiramente, que o polinômio tem uma raiz no intervalo
).
Observações: É proibido o uso de qualquer equipamento eletrônico. Desligue o celular.
(Sugestão: Prove, primeiramente, que o polinômio tem uma raiz no intervalo
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional
e pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
Informações relevantes dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A função está definida para todo
tal que o denominador seja diferente de zero.
O que precisamos responder:
- Quais são as assíntotas verticais (retas
onde ao nos aproximarmos de )? - Qual é a assíntota horizontal (reta
tal que ), se existir?
Passo 2
Fatorar numerador e denominador — isso ajuda a identificar zeros comuns (que geram buracos) e zeros do denominador que podem gerar assíntotas verticais.
Fatorando o numerador:
Fatorando o denominador: procurar números que multiplicam
e somam
. São
e
. Portanto
Verificação rápida: expandindo
obtém-se
, correto.
Passo 3
Simplificar a expressão quando possível, lembrando da restrição de domínio original.
Como tanto numerador quanto denominador têm o fator comum
, podemos cancelar esse fator algebraicamente, com a observação importante de que o ponto
fica excluído do domínio original (pois lá o denominador é zero). Após cancelar:
Mas lembrar: a função original não está definida em
nem em
. Então o domínio original é
A expressão simplificada útil para limites é
Passo 4
Determinar as assíntotas verticais — teoria e aplicação.
Teoria rápida (em palavras): uma reta vertical
é assíntota vertical de
se ao aproximarmos
de
(pela esquerda ou direita) a função
tende para
ou
. Na prática, isso costuma ocorrer quando o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um valor não nulo — isto é, zeros do denominador que não foram cancelados por zeros do numerador.
Aplicação aos zeros do denominador:
-
: aqui tanto numerador quanto denominador se anulam (fator comum ). Esse ponto é uma descontinuidade removível (um “buraco”), não uma assíntota vertical. Para ver o valor limite: Como o limite é finito, não é assíntota vertical (é um ponto de descontinuidade removível). -
: no denominador original anula o denominador e o numerador original em vale . Ou seja, não houve cancelamento; esperamos assíntota vertical. Para confirmar, examinamos os limites laterais usando .
Calcular limites laterais em
:
escrevendo com
,
escrevendo
Assim:
Portanto
é uma assíntota vertical e o comportamento é divergente com sinais opostos nas duas bordas.
Passo 5
Determinar a assíntota horizontal — teoria e cálculo.
Teoria rápida: para uma função racional
com
polinômios,
- se
então (assíntota horizontal ); - se
então razão dos coeficientes líderes (assíntota horizontal essa razão); - se
não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
No nosso caso
do numerador é
e do denominador também
, e os coeficientes líderes são ambos
. Logo a assíntota horizontal deve ser
. Vamos confirmar com o cálculo usando a forma simplificada
:
Reescrevendo
Ao ir para infinito,
Portanto a reta
é assíntota horizontal tanto à direita quanto à esquerda.
Passo 6
Interpretação final e observações práticas para a prova (dicas rápidas e motivação).
- Método geral para funções racionais: fatorar, cancelar fatores comuns (identificar buracos), localizar zeros do denominador remanescentes (assíntotas verticais), e comparar graus (assíntotas horizontais). Anotar sempre o domínio original antes de cancelar, para não “apagar” descontinuidades removíveis.
- No exercício, houve um buraco em
(limite ), e uma assíntota vertical em (limites laterais ). - Keep calm — seguir esses passos sistemáticos resolve a maioria das questões de assíntotas.
Resposta
Assíntota horizontal:
Assíntota vertical: