(2 pts) Seja f(x)=\frac{x^{2}-x}{x^{2}-6 x+5}. Encontre as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
Observações: É proibido o uso de qualquer equipamento eletrônico. Desligue o celular.
(Sugestão: Prove, primeiramente, que o polinômio tem uma raiz no intervalo (0,1) ).

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
f(x)=\frac{x^{2}-x}{x^{2}-6x+5}
e pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é o polinômio x^{2}-x.
  • O denominador é o polinômio x^{2}-6x+5.
  • A função está definida para todo x tal que o denominador seja diferente de zero.
O que precisamos responder:
  • Quais são as assíntotas verticais (retas x=a onde f(x)\to\pm\infty ao nos aproximarmos de a)?
  • Qual é a assíntota horizontal (reta y=L tal que \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L), se existir?

Passo 2

Fatorar numerador e denominador — isso ajuda a identificar zeros comuns (que geram buracos) e zeros do denominador que podem gerar assíntotas verticais.
Fatorando o numerador:
x^{2}-x = x(x-1).
Fatorando o denominador: procurar números que multiplicam 5 e somam -6. São -1 e -5. Portanto
x^{2}-6x+5 = (x-1)(x-5).
Verificação rápida: expandindo (x-1)(x-5) obtém-se x^{2}-6x+5, correto.

Passo 3

Simplificar a expressão quando possível, lembrando da restrição de domínio original.
Como tanto numerador quanto denominador têm o fator comum (x-1), podemos cancelar esse fator algebraicamente, com a observação importante de que o ponto x=1 fica excluído do domínio original (pois lá o denominador é zero). Após cancelar:
f(x)=\frac{x(x-1)}{(x-1)(x-5)}=\frac{x}{x-5},\qquad x\neq 1.
Mas lembrar: a função original não está definida em x=1 nem em x=5. Então o domínio original é
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1,5\}.
A expressão simplificada útil para limites é
g(x)=\frac{x}{x-5}\quad\text{(igual a }f(x)\text{ para }x\neq1\text{)}.

Passo 4

Determinar as assíntotas verticais — teoria e aplicação.
Teoria rápida (em palavras): uma reta vertical x=a é assíntota vertical de f se ao aproximarmos x de a (pela esquerda ou direita) a função f(x) tende para +\infty ou -\infty. Na prática, isso costuma ocorrer quando o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um valor não nulo — isto é, zeros do denominador que não foram cancelados por zeros do numerador.
Aplicação aos zeros do denominador:
  • x=1: aqui tanto numerador quanto denominador se anulam (fator comum (x-1)). Esse ponto é uma descontinuidade removível (um “buraco”), não uma assíntota vertical. Para ver o valor limite: \lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} \frac{x}{x-5} = \frac{1}{1-5}=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}.Como o limite é finito, x=1 não é assíntota vertical (é um ponto de descontinuidade removível).
  • x=5: no denominador original x=5 anula o denominador e o numerador original em x=5 vale 5^{2}-5=20\neq0. Ou seja, não houve cancelamento; esperamos assíntota vertical. Para confirmar, examinamos os limites laterais usando g(x)=\dfrac{x}{x-5}.
Calcular limites laterais em x=5:
escrevendo x=5+h com h\to0,
g(5+h)=\frac{5+h}{h}=\frac{5}{h}+1.
Assim:
\lim_{x\to 5^+} g(x)=\lim_{h\to 0^+}\left(\frac{5}{h}+1\right)=+\infty, \qquad \lim_{x\to 5^-} g(x)=\lim_{h\to 0^-}\left(\frac{5}{h}+1\right)=-\infty.
Portanto x=5 é uma assíntota vertical e o comportamento é divergente com sinais opostos nas duas bordas.

Passo 5

Determinar a assíntota horizontal — teoria e cálculo.
Teoria rápida: para uma função racional p(x)/q(x) com p,q polinômios,
  • se \deg p < \deg q então \lim_{x\to\pm\infty} p/q = 0 (assíntota horizontal y=0);
  • se \deg p = \deg q então \lim_{x\to\pm\infty} p/q = razão dos coeficientes líderes (assíntota horizontal y= essa razão);
  • se \deg p > \deg q não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
No nosso caso \deg do numerador é 2 e do denominador também 2, e os coeficientes líderes são ambos 1. Logo a assíntota horizontal deve ser y=1. Vamos confirmar com o cálculo usando a forma simplificada g(x)=\dfrac{x}{x-5}:
Reescrevendo
\frac{x}{x-5}=\frac{x-5+5}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}.
Ao ir para infinito,
\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{5}{x-5}\right)=1+0=1, \qquad \lim_{x\to-\infty} \left(1+\frac{5}{x-5}\right)=1+0=1.
Portanto a reta y=1 é assíntota horizontal tanto à direita quanto à esquerda.

Passo 6

Interpretação final e observações práticas para a prova (dicas rápidas e motivação).
  • Método geral para funções racionais: fatorar, cancelar fatores comuns (identificar buracos), localizar zeros do denominador remanescentes (assíntotas verticais), e comparar graus (assíntotas horizontais). Anotar sempre o domínio original antes de cancelar, para não “apagar” descontinuidades removíveis.
  • No exercício, houve um buraco em x=1 (limite -\tfrac{1}{4}), e uma assíntota vertical em x=5 (limites laterais \pm\infty).
  • Keep calm — seguir esses passos sistemáticos resolve a maioria das questões de assíntotas.

Resposta

Assíntota horizontal: y=1
Assíntota vertical: x=5

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