Prove que g^{i k} g_{k j}=\delta_{j}^{i}.

Passo 1

O enunciado pede que se prove a igualdade g^{i k} g_{k j}=\delta_{j}^{i}.
Informações/dados dados pelo enunciado (ou implicados pela notação):
  • Estávamos com tensores componentes g_{i j} e g^{i j}.
  • A notação usa índices contravariantes (superíndices) \,{}^{i} e covariantes (subíndices) \,_{j}.
  • A expressão a provar envolve soma sobre o índice repetido k (convenção de soma de Einstein).
  • \delta_{j}^{i} é o delta de Kronecker: igual a 1 quando i=j e 0 quando i\neq j.

Passo 2

Explicação da convenção e das interpretações que vamos usar (passo didático sobre a linguagem).
  • Convenção de soma de Einstein: quando um índice aparece uma vez em cima e outra vez em baixo na mesma expressão (como em g^{i k} g_{k j}), isso significa soma sobre esse índice. Se os índices vão de 1 a n, então
g^{i k} g_{k j} \equiv \sum_{k=1}^{n} g^{i k} g_{k j}.
  • Delta de Kronecker: a componente \delta^{i}_{j} vale 1 se i=j e 0 caso contrário. É a matriz identidade no espaço dos índices.
  • Interpretação matricial: as matrizes cujas entradas são g_{ij} e g^{ij} serão denotadas por G e G^{-1} respectivamente — isto é, G=(g_{ij}) e G^{-1}=(g^{ij}). Na linguagem de matrizes a igualdade a provar corresponde a dizer que a multiplicação G^{-1}G dá a matriz identidade.

Passo 3

Definição de inversa matricial / tensoria l: por que faz sentido falar que g^{ij} é “inversa” de g_{ij}.
  • Uma matriz quadrada G é invertível se existe uma matriz H tal que HG=GH=I, onde I é a matriz identidade. Em termos de componentes, isso significa
H^{i}{}_{k}G^{k}{}_{j}=\delta^{i}_{j}.
  • Na notação de tensores, normalmente define-se g^{ij} como as componentes da inversa de g_{ij}. Ou seja, por definição (ou por construção), g^{ij} satisfaz a relação de inversa contra g_{jk}. Essa definição é exatamente a igualdade que queremos provar.

Passo 4

Prova direta usando multiplicação de matrizes (componencial).
  • Considere a matriz G de entradas g_{ij} e a matriz G^{-1} de entradas g^{ij}. Pela definição de inversa vale
G^{-1}G = I.
  • Escrevendo a componente (i,j) do produto G^{-1}G obtemos
\bigl(G^{-1}G\bigr)^{i}{}_{j}=\sum_{k=1}^{n} g^{i k} g_{k j}.
  • Como G^{-1}G=I, a componente (i,j) do lado direito é \delta^{i}_{j}. Portanto
\sum_{k=1}^{n} g^{i k} g_{k j}=\delta^{i}_{j},
o que, pela convenção de soma, é exatamente
g^{i k} g_{k j}=\delta^{i}_{j}.

Passo 5

Prova alternativa, mais “tensórica”, mostrando que a composição é a identidade agindo sobre vetores.
  • Tome um vetor qualquer com componentes v^{j}. Primeiro faça a contração com g_{k j}:
v_{k}=g_{k j}v^{j},
isto é, g_{k j} transforma o vetor em um covetor (ou “abaixa o índice”). Em seguida aplique g^{i k}:
w^{i}=g^{i k}v_{k}=g^{i k}g_{k j}v^{j}.
  • Por outro lado, se g^{i k} é a inversa de g_{k j}, a operação composta deve devolver o vetor original, ou seja w^{i}=v^{i}. Assim
g^{i k}g_{k j}v^{j}=v^{i}
para todo vetor v^{j}.
  • Se um tensor T^{i}{}_{j} satisfaz T^{i}{}_{j}v^{j}=v^{i} para todo vetor v^{j}, então necessariamente T^{i}{}_{j}=\delta^{i}_{j}. Aplicando isso ao T^{i}{}_{j}=g^{i k}g_{k j} conclui-se que
g^{i k}g_{k j}=\delta^{i}_{j}.

Passo 6

Observação sobre unicidade e consistência: por que não há ambiguidade.
  • A inversa de uma matriz (quando existe) é única. Logo não pode existir outra matriz H diferente de G^{-1} que satisfaça HG=I. Assim a identificação de g^{ij} como componentes da inversa é consistente e a igualdade acima é única e bem definida.
  • Isso garante que as operações de “elevar/baixar índices” com g^{ij} e g_{ij} são recíprocas.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a intuição (2×2).
  • Seja
G=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
A inversa é
G^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix},
isto é, componentes g^{11}=\tfrac{2}{3}, g^{12}=g^{21}=-\tfrac{1}{3}, g^{22}=\tfrac{2}{3}. Multiplicando componente a componente:
\sum_{k=1}^{2} g^{i k}g_{k j}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
ou seja, as somas dão exatamente \delta^{i}_{j}. Isso é a concretização numérica da igualdade geral.]

Resposta

g^{i k} g_{k j}=\delta_{j}^{i}

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