Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede que se prove a igualdade
.
Informações/dados dados pelo enunciado (ou implicados pela notação):
Informações/dados dados pelo enunciado (ou implicados pela notação):
- Estávamos com tensores componentes
e . - A notação usa índices contravariantes (superíndices)
e covariantes (subíndices) . - A expressão a provar envolve soma sobre o índice repetido
(convenção de soma de Einstein). -
é o delta de Kronecker: igual a quando e quando .
Passo 2
Explicação da convenção e das interpretações que vamos usar (passo didático sobre a linguagem).
- Convenção de soma de Einstein: quando um índice aparece uma vez em cima e outra vez em baixo na mesma expressão (como em
), isso significa soma sobre esse índice. Se os índices vão de a , então
- Delta de Kronecker: a componente
vale se e caso contrário. É a matriz identidade no espaço dos índices. - Interpretação matricial: as matrizes cujas entradas são
e serão denotadas por e respectivamente — isto é, e . Na linguagem de matrizes a igualdade a provar corresponde a dizer que a multiplicação dá a matriz identidade.
Passo 3
Definição de inversa matricial / tensoria l: por que faz sentido falar que
é “inversa” de
.
- Uma matriz quadrada
é invertível se existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. Em termos de componentes, isso significa
- Na notação de tensores, normalmente define-se
como as componentes da inversa de . Ou seja, por definição (ou por construção), satisfaz a relação de inversa contra . Essa definição é exatamente a igualdade que queremos provar.
Passo 4
Prova direta usando multiplicação de matrizes (componencial).
- Considere a matriz
de entradas e a matriz de entradas . Pela definição de inversa vale
- Escrevendo a componente
do produto obtemos
- Como
, a componente do lado direito é . Portanto
o que, pela convenção de soma, é exatamente
Passo 5
Prova alternativa, mais “tensórica”, mostrando que a composição é a identidade agindo sobre vetores.
- Tome um vetor qualquer com componentes
. Primeiro faça a contração com :
isto é,
transforma o vetor em um covetor (ou “abaixa o índice”). Em seguida aplique
:
- Por outro lado, se
é a inversa de , a operação composta deve devolver o vetor original, ou seja . Assim
para todo vetor
.
- Se um tensor
satisfaz para todo vetor , então necessariamente . Aplicando isso ao conclui-se que
Passo 6
Observação sobre unicidade e consistência: por que não há ambiguidade.
- A inversa de uma matriz (quando existe) é única. Logo não pode existir outra matriz
diferente de que satisfaça . Assim a identificação de como componentes da inversa é consistente e a igualdade acima é única e bem definida. - Isso garante que as operações de “elevar/baixar índices” com
e são recíprocas.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição (2×2).
- Seja
A inversa é
isto é, componentes
,
,
. Multiplicando componente a componente:
ou seja, as somas dão exatamente
. Isso é a concretização numérica da igualdade geral.]