( 5,0 pts) Calcule uma das seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
a) integral-infty^0|x| e^-x^2 d x
b) integral0^9 e^-raizxraizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^0 |x| e^-x^2,dx
Aqui vamos usar conceitos de integrais impróprias, manipulação de valor absoluto e substituição para funções exponenciais.

Passo 2

Como o intervalo de integração é de -infty até 0, temos sempre x<=0, então |x|=-x. Logo a integral vira
integral-infty^0 |x| e^-x^2,dx = integral-infty^0 -x,e^-x^2,dx

Passo 3

Para encontrar a primitiva de -x e^-x^2), fazemos a substituição
u = x^2, du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Assim,
- x,e^-x^2,dx = -12 e^-u,du,
cuja integral é
integral -x e^-x^2,dx = -tfrac12integral e^-u,du = tfrac12 e^-u + C = tfrac12 e^-x^2 + C

Passo 4

Agora aplicamos os limites de -infty a 0 na primitiva encontrada:
integral-infty^0 -x e^-x^2,dx = gl[tfrac12 e^-x^2gr]-infty^0 = tfrac12 e^0 - tfrac12limxto-inftye^-x^2 = tfrac12 - 0 = tfrac12

Passo 5

Portanto a integral converge e vale tfrac12.

Resposta

tfrac12

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